Question

如图在三角形ABC中D,E分别为AB,AC上的点,且BD=CE,M、ND分别是BE、CD的中点。过MN的直线交A.B于P.交AC于Q,

问：线段AP,AQ相等吗？为什么？

Answer 1

∵M，H为BE，BC的中点，∴MH∥EC，且MH= 12EC．

∵N，H为CD，BC的中点，∴NH∥BD，且NH= 12BD．

∵BD=CE，∴MH=NH．∴∠HMN=∠HNM；

∵MH∥EC，∴．∠HMN=∠PQA，

同理∠HNM=∠QPA．

∴△APQ为等腰三角形，

∴AP=AQ．

Answer 2

取BC的中点F，连接MF、NF
因为M是BE的中点
所以MF是△BCE的中位线
所以MF//CE，MF＝CE/2
同理NF//BD，NF＝BD/2
因为BD＝CE
所以MF＝NF
所以∠NMF＝∠MNF
因为MF//CE，NF//BD
所以∠NMF＝AQP，∠MNF＝∠APQ
所以∠APQ＝∠AQP
所以AP＝AQ

Answer 3

∵M，H为BE，BC的中点，∴MH∥EC，且MH= 1/2EC．
∵N，H为CD，BC的中点，∴NH∥BD，且NH= 1/2BD．
∵BD=CE，∴MH=NH．∴∠HMN=∠HNM；
∵MH∥EC，∴．∠HMN=∠PQA，
同理∠HNM=∠QPA．
∴△APQ为等腰三角形，
∴AP=AQ．
帮上面的改了一下

Answer 4

（1）
CD⊥AB于D,垂足为D,AD=BD(即MN是AB的垂直平分线),
则AC与BC的关系是。
规律是：线段的垂直平分线上一点到线段两端点的距离相等。
（2）
因为，点N在线段AC的垂直平分线上，
所以，NA = NC ；
因为，点N在∠ABC的平分线上，且角平分线上的点到角两边的距离相等，
所以，ND = NE ；
在 Rt△ADN 和 Rt△CEN 中，NA = NC ，ND = NE ，
可得：△ADN ≌ △CEN ，
所以，AD = CE 。