Question

数学难题 八年级下

2006年绵阳市）在正方形ABCD中，点P是CD上一动点，连结PA，分别过点B、D作BE⊥PA、DF⊥PA，垂足分别为E、F，如图①．

　　（1）请探索BE、DF、EF这三条线段长度具有怎样的数量关系．若点P在DC的延长线上（如图②），那么这三条线段的长度之间又具有怎样的数量关系？若点P在CD的延长线上呢（如图③）？请分别直接写出结论；

　　（2）请在（1）中的三个结论中选择一个加以证明．

图地址：http://b72.photo.store.qq.com/http_imgload.cgi?/rurl4_b=f548efa309dc3efc2729e936accd200a626a035845546a3f87d19468036f2f9a79db39da2a07fbd8145afbac33e74a117ba7b985ee36281a06676cae854a2a0979fcaeca2680bb56a06732db4a3f1893785d7b61&a=72&b=72

Answer 1

第一种情况 BE=DF+EF
第二种情况 DF=BE+EF
第三种情况 EF=BF+DF
第一种情况的证明如下
因为 四边形ABCD是正方形
所以 AB=AD
因为 ∠BAE+∠DAF=90°
∠FDA+∠DAF=90°
所以 ∠BAE=∠FDA
所以 △BAE全等于DAF
所以 BE=AF DF=AE
即 BE=DF+EF
第二种情况证明如下
因为 四边形ABCD是正方形
所以 AB=AD
因为 ∠BAE+∠DAF=90°
∠ADF+∠DAF=90°
所以 ∠BAE=∠ADF
所以 △BAE全等于DAF
所以 BE=AF DF=AE
即 DF=BE+EF
第三种情况证明如下
因为 四边形ABCD是正方形
所以 AB=AD
因为 ∠EAB+∠DAF=90°
∠FDA+∠DAF=90°
所以 ∠EAB=∠FDA
所以 △BAE全等于DAF
所以 BE=AF DF=AE
即 EF=BF+DF

Answer 2

BE=DF+EF DF=BE+EF EF=BF+DF四边形ABCD是正方形
所以 AB=AD
因为 ∠BAE+∠DAF=90°
∠FDA+∠DAF=90
所以 ∠BAE=∠FDA
所以 △BAE全等于DAF
所以 BE=AF DF=AE
即 BE=DF+EF