Question

设在向量组a1,a2,...,ar中a1≠0,并且每一个ai均不能由前面的i-1个向量线性表示

设在向量组a1,a2,...,ar中a1≠0,并且每一个ai均不能由前面的i-1个向量线性表示，证明a1,a2,...,ar线性无关

Answer 1

设x1a1+x2a2+...+xrar=0，证明x1=x2=...=xr=0。
如果xr≠0，则ar＝-(x1a1+x2a2+...+x(r-1)a(r-1))/xr，所以ar可以由a1,a2,...,a(r-1)线性表示，与已知条件矛盾。
所以xr＝0。
同理可得，x(r-1)=0，...，x2＝0。
所以x1a1+x2a2+...+xrar=0就变成了x1a1=0，又因为a1≠0，所以x1＝0。
所以x1=x2=...=xr＝0。
所以a1,a2,...,ar线性无关。