Question

抛物线上任两点引抛物线的切线且切线互相垂直，两切线交点一定在准线上吗？怎么证明？

Answer 1

一定在准线上。

证明：设抛物线的方程y^2=2px(p>0,是常数）

在抛物线上任取两点A(x1,y1)，B(x2,y2)，A在x轴上方，y1>0,B在x轴的下方，y2<0

y1^2=2px1，y2^2=2px2，y1=+-(2px1)^1/2，y1=(2px1)^1/2，y2=+-(2px2)^1/2，y2=-(2px2)^1/2

在A点处的切线，2yxy'=2p

yxy'=p

y'=p/y=p/y1=p/(2px1)^1/2

k1=y'/A=p/(2px1)^1/2

l1:y-y1=p/(2px1)^1/2(x-x1)

y-(2px1)^1/2=p/(2px1)^1/2(x-x1)

在B点处的切线，2yxy'=2p,yxy'=p,y'=p/y,

k=y'/B=p/y2=p/-(2px2)^1/2

l2:y-y2=p/-(2px2)^1/2(x-x2)

y-(-(2px2)^1/2)=p/-(2px2)^1/2(x-x2)

联立切线l1和切线l2的方程，求出方程组的解：x、y

最终得出该解的坐标满足准线x=-p/2的方程

所以两条切线的交点在准线上。

扩展资料：

一条刚好触碰到曲线上某一点的直线。更准确地说，当切线经过曲线上的某点（即切点）时，切线的方向与曲线上该点的方向是相同的。

P和Q是曲线C上邻近的两点，P是定点，当Q点沿着曲线C无限地接近P点时，割线PQ的极限位置PT叫做曲线C在点P的切线，P点叫做切点；经过切点P并且垂直于切线PT的直线PN叫做曲线C在点P的法线（无限逼近的思想）。

平面几何中，将和圆只有一个公共交点的直线叫做圆的切线．这种定义不适用于一般的曲线；PT是曲线C在点P的切线，但它和曲线C还有另外一个交点；相反，直线l尽管和曲线C只有一个交点，但它却不是曲线C的切线。

参考资料来源：百度百科--切线

Answer 2

证明：设抛物线的方程y^2=2px(p>0,是常数）
在抛物线上任取两点A(x1,y1),B(x2,y2),A在x轴上方，y1>0,B在x轴的下方，y2<0
y1^2=2px1,y2^2=2px2,y1=+-(2px1)^1/2,y1=(2px1)^1/2,y2=+-(2px2)^1/2,y2=-(2px2)^1/2
在A点处的切线，2yxy'=2p
yxy'=p
y'=p/y=p/y1=p/(2px1)^1/2
k1=y'/A=p/(2px1)^1/2
l1:y-y1=p/(2px1)^1/2(x-x1)
y-(2px1)^1/2=p/(2px1)^1/2(x-x1)
在B点处的切线，2yxy'=2p,yxy'=p,y'=p/y,
k=y'/B=p/y2=p/-(2px2)^1/2
l2:y-y2=p/-(2px2)^1/2(x-x2)
y-(-(2px2)^1/2)=p/-(2px2)^1/2(x-x2)
联立切线l1和切线l2的方程，求出方程组的解：x=,y=
最终得出该解的坐标满足准线x=-p/2的方程
所以两条切线的交点在准线上。