函数奇偶性的特征
定义
一般地，对于函数f(x)
⑴如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x，都有f(x)=f(-x）或f(x)/f(-x)=1那么函数f(x）就叫做偶函数。关于y轴对称，f（-x）=f（x）。
⑵如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x）或f(x)/f(-x)=-1，那么函数f(x）就叫做奇函数。关于原点对称，-f（x）=f（-x）。
⑶如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(x)=f(-x）和f(-x)=-f(x），（x∈R，且R关于原点对称.）那么函数f(x）既是奇函数又是偶函数，称为既奇又偶函数。
⑷如果对于函数定义域内的存在一个a，使得f(a）≠f(-a），存在一个b，使得f(-b）≠-f(b），那么函数f(x）既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。
定义域互为相反数，定义域必须关于原点对称
特殊的，f（x）=0既是奇函数，又是偶函数。
说明：①奇、偶性是函数的整体性质，对整个定义域而言。
②奇、偶函数的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性。
（分析：判断函数的奇偶性，首先是检验其定义域是否关于原点对称，然后再严格按照奇、偶性的定义经过化简、整理、再与f(x）比较得出结论）
③判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义。
④如果一个奇函数f(x）在x=0处有意义，则这个函数在x=0处的函数值一定为0。并且关于原点对称。
⑤如果函数定义域不关于原点对称或不符合奇函数、偶函数的条件则叫做非奇非偶函数。例如f（x）=x³【-∞，-2】或【0，+∞】（定义域不关于原点对称）
⑥如果函数既符合奇函数又符合偶函数，则叫做既奇又偶函数。例如f（x）=0
注：任意常函数（定义域关于原点对称）均为偶函数，只有f(x)=0是既奇又偶函数
特征
概述
偶函数：若对于定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)称为偶函数。
奇函数：若对于定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)称为奇函数。
定理奇函数的图像关于原点成中心对称图表，偶函数的图象关于y轴成轴对称图形。
f(x)为奇函数《==》f(x)的图像关于原点对称
点（x，y）→（-x，-y）
奇函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上也是单调递增。
偶函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上单调递减。
奇函数
奇函数
定理 奇函数[1] 图象关于原点成中心对称图形
f(x）为奇函数<=>f(x）的图象关于原点对称，如图：
奇函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上也是单调递增。
点（x,y）→（-x,-y）
奇函数图像关于原点对称
偶函数
偶函数
定理 偶函数[2] 的图象关于y轴成轴对称图形
f(x）为偶函数<=>f(x）的图象关于Y轴对称，如图
点（x,y）→（-x,y）
偶函数在某一区间上单调递减，则在它的对称区间上单调递增。
偶函数关于Y轴对称
证明方法
1、利用奇偶函数的定义来判断（这是最基本，最常用的方法）定义：如果对于函数y=f（x）的定义域A内的任意一个值x，都有f（-x）=-f（x）则这个函数叫做奇函数f（-x）=f（x），则这个函数叫做偶函数
2、用求和（差）法判断：
若f（x）+f（-x）=〔f（x）-f（-x）=2f（x），则f（x）为奇函数。
若f（x）-f（-x）=〔f（x）+f（-x）=2f（x），则f（x）为偶函数。
3、用求商法判断
若f（-x）/f（x） =-1,（f（x）≠0）则f（x）为奇函数
若f（-x）/f（x）=1,（f（x）≠0）则f（x）为偶函数
性质
1、大部分偶函数没有反函数（因为大部分偶函数在整个定义域内非单调函数）。
2、偶函数在定义域内关于y轴对称的两个区间上单调性相反，奇函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同。
3、奇±奇=奇（可能为既奇又偶函数） 偶±偶=偶（可能为既奇又偶函数） 奇X奇=偶 偶X偶=偶 奇X偶=奇（两函数定义域要关于原点对称）.
4、对于F（x）=f[g(x)]：若g(x）是偶函数且f（x）是偶函数，则F[x]是偶函数.
若g(x）奇函数且f(x）是奇函数，则F（x）是奇函数.
若g(x）奇函数且f(x）是偶函数，则F（x）是偶函数.
5、奇函数与偶函数的定义域必须关于原点对称.
要点诠释
[1]奇偶性是整体性质；
[2]x在定义域中，那么-x在定义域中吗？----具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的；
[3]f(-x)=f(x)的等价形式为：f(x)-f(-x)=0，
（f（x）≠0）
f(-x)=-f(x)的等价形式为：f(x)+f(-x)=0；
（f（x）≠0）
[4]由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有f(0)=0；
[5]既是奇函数，又是偶函数的函数有无数个，只要f（x）=0，且定义域关于原点对称即可
常用结论
（1）奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性
偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性
（2）若f（x+a）为奇函数，则f（x）的图像关于点（a，0）对称
若f（x+a）为偶函数，则f（x）的图像关于直线x=a对称
（3）在f（x），g（x）的公共定义域上：奇函数±奇函数=奇函数
偶函数±偶函数=偶函数
奇函数×奇函数=偶函数
偶函数×偶函数=偶函数
奇函数×偶函数=奇函数
偶函数：若对于定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)称为偶函数。
奇函数：若对于定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)称为奇函数。
定理奇函数的图像关于原点成中心对称图表，偶函数的图象关于y轴成轴对称图形。
f(x)为奇函数《==》f(x)的图像关于原点对称
点（x，y）→（-x，-y）
奇函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上也是单调递增。
偶函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上单调递减。 定理 奇函数的图象关于原点成中心对称图形
f(x）为奇函数<=>f(x）的图象关于原点对称，如图：
奇函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上也是单调递增。
点（x,y）→（-x,-y）
奇函数图像关于原点对称 定理 偶函数的图象关于y轴成轴对称图形
f(x）为偶函数<=>f(x）的图象关于Y轴对称，如图
点（x,y）→（-x,y）
偶函数在某一区间上单调递减，则在它的对称区间上单调递增。
偶函数关于Y轴对称
(1)函数图像关于原点对称；
(2)在关于原点对称的区间上单调性相同；
(3)若在x=0处有定义，则有f(0)=0;(4)f(-x)=-f(x)。
2.对于偶函数f(x)有
(1)函数图像关于y轴对称；
(2)在关于原点对称的区间上单调性相反；
(3)f(-x)=f(x)=f(|x|)=f(-|x|)=f(|-x|)=f(-|-x|)。
3.对于同一定义域上的两个奇(偶)函数有
(1)两个奇函数的和或差为奇函数;
(2)两个偶函数的和或差为偶函数;
(3)两个奇函数的积为偶函数;
(4)两个偶函数的积为偶函数;
(5)一个奇函数和一个偶函数的积为奇函数。
