Question

如图直角梯形ABCD中∠ABC=90度 AD//BC AB=BC E是AB中点 CE⊥BD于点O

如图所示，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD‖BC，AB=BC，E是AB的中点，CE⊥BD。
（1） 求证：BE=AD；
（2） 求证：AC是线段ED的垂直平分线；
（3） △DBC是等腰三角形吗？并说明理由。

Answer 1

∵∠ABC=90度 CE⊥BD
∴∠ABD=90°-∠BEC=∠BCE
∵AD//BC
∴∠BAD=∠CBE=90°
∵AB=BC
∴△BAD≌△CBE
∴AD=BE (1)得证
∵ E是AB中点
∴AE=AD
∵AB=BC ∠ABC=90度
∴△ABC是等腰直角三角形
∴∠BAC=45°
∴∠DAC=90°-45°=45°
∴AC平分∠DAE
∴AC是线段ED的垂直平分线 (2)得证
过D作DF⊥BC垂足为F 则AD=BF(矩形对边等)
∵AB=BC AB=2AE=2AD
∴BF=FC
∴DE垂直平分BC
∴△BDC是等腰三角形
(3)得证

Answer 2

明BE=AD，需证明三角形ABD与BCE全等。
因为，角BAD=角CBE=90度，AB=BC,角ABD=角BCE(都等于90度-角BEC),所以
三角形ABD与BCE全等，则BE=AD。
求证：AC是线段ED的垂直平分线
因为E是AB的中点，所以AE=BE=AD,则三角形ADE是等腰直角三角形，则角AED=45度，
在等腰直角三角形ABC中，角BAC=45度，所以AC垂直ED,三角形ADE又是等腰直角三角形，
所以AC是线段ED的垂直平分线
三角形DBC是等腰三角形，过D做DF垂直BC于F，则ABFD是长方形，即BF=AD,
AD=BE=1/2AB=1/2BC,所以DF是三角形DBC的垂直平分线，所以三角形DBC是等腰三角形。

Answer 3

1.（1）O是AC的中点，连OD，AD，
∵AC是圆的直径，∴∠ADC=90°，
即AD⊥DC。
由AB=AC，∴D是BC的中点。
由OD=OC，∴∠ODC=∠OCD=∠ABC，
∴OD‖AB，由EF是圆的切线，
∴EF⊥OD，即EF⊥AB。
（2）cosF=cos（90°-∠BAF）=sin∠BAF
=ain2∠BAD
=2sin∠BAD·cos∠BAD，
=2·5/13·12/13
=120/169.
2.△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=a，
以斜边AB上的点O为圆心的圆分别与AC，BC相切于E，F，
与AB交于G，H（G近A，H近B），
连EH延长交CB延长线于D，求CD的长。
CD=（√2+1）a/2.
证明：连EO，∵EO⊥AC，∴EO是△ABC的中位线，
r=EO=a/2.
连EF，F是BC的中点，∵∠D=∠OED，∠DHB=∠OHE，
又∠OED=∠OHE，
∴∠DHB=∠D=22.5°（∵∠ABC=45°），
同理：EF=DF（EF‖AB）
EF=√[（a/2）²+（a/2)²]=a√2/2.
∴CD=CF+FD=a/2+a√2/2=（√2+1）a/2.