Question

已知抛物线y=-x2+bx+c经过点A(0,4),且抛物线的对称轴为直线x=2 求该抛物线的解析式

2.若该抛物线的顶点B，在抛物线上是否存在点C,使得AOBC四点构成的四边形是梯形？若存在求点C的坐标
3试问抛物线上是否存在点P,使得以3为半径的圆P既与x轴相切，又与对称轴相交？若存在，求出点P的坐标，并求出对称轴被圆P所截得的弦EF的长度

Answer 1

答：（1）抛物线经过点A(0,4),代入抛物线方程得：c=4。抛物线的对称轴为直线x=2,代入抛物线对称轴方程：X=-b/2a，则，b=4，那么，抛物线的解析式为：y=-x2+4x+4。.
(2)要构成梯形，则，一对边需互相平行，那就是直线的斜率相等，此题，只有OC、AB才能平行。该抛物线的顶点B(2,8)。直线AB的斜率k=2,，设C（x，y），则，OC的斜率也为2，即，y=2*x。C（x，y）点又在抛物线上，y=-x2+4x+4，解得：C(-1+5^1/2,-2+2*5^1/2)，C(-1-5^1/2,-2-2*5^1/2)。
（3）先求出抛物线上，到X轴距离为3的点，有两个，然后，计算出各个点到对称轴的距离，大于3的那个点，舍去。保留小于3的那个点。最后在过p点做对称轴的垂线，在直角三角形中计算出半弦长EF。即可。

Answer 2

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