Question

已知函数fx=负x^2加上2a绝对值的x-1逗号a>0

Answer 1

f(x)=-x²+2a|x-1| a>0
(1)a=2
f₁(x)=-x²-4(x-1)=-x²-4x+4=-(x+2)²+8 x≤1
f₂(x)=-x²+4(x-1)=-x²+4x-4=-(x-2)² x≥1
f₁(x)开口向下，对称轴x=-2 区间包含对称轴，顶点为最大值=8
f₁(x)开口向下，对称轴x=2 区间包含对称轴，顶点为最大值=0
∴f(x)最大值=8
(2)
f₁(x)=-x²-2a(x-1)=-x²-2ax+2a=-(x+a)²+2a+a² x≤1
f₂(x)=-x²+2a(x-1)=-x²+2ax-2a=-(x-a)²+a²-2a x≥1
a≤-1
f₁(x)在对称轴的左侧，开口向下，f单调递增，最大值=f₁(1)=-1<2 恒成立
f²(x)在对称轴的右侧，开口向下，f单调递减，最大值=f₁(1)=-1<2 恒成立
-1<a≤1

f₁(x)范围内的区间x∈[-2,1]包含对称轴，开口向下，顶点2a+a²为最大值
2a+a²-2≤0→a≤√3-1
f₂(x)在对称轴的右侧，开口向下，f单调递减，最大值=f₁(1)=-1<2 恒成立
a>1
f(-2)=-4+6a>2 恒不成立
综上a≤√3-1