Question

已知函数f(x)=e^x(e为自然对数的底数)，g(x)=f(x)-f(-x)-(a+1/a)x

已知函数f(x)=e^x(e为自然对数的底数)，g(x)=f(x)-f(-x)-(a+1/a)x，x属R，a大于0
1:判断函数g(x)的奇偶性，并说明理由
2:求函数g(x)的单调递增区间
3证明对任意实数x1和x2，且x1不等x2，都有不等式f（（x1+x2）\2）<（f（x1）-f（x2）\（x1-x2））<（f（x1）+f（x2））\2成立
第一问我会，第二问求不出导~

Answer 1

已知函数f(x)=e^x(e为自然对数的底数)，g(x)=f(x)-f(-x)-(a+1/a)x，x属R，a大于0
1:判断函数g(x)的奇偶性，并说明理由
2:求函数g(x)的单调递增区间
3证明对任意实数x1和x2，且x1不等于x2，都有不等式
f[(x₁+x₂)/2]<[(f(x₁)-f(x₂)]/(x₁-x₂)]<[f(x₁)+f(x₂)]/2成立
解：(1)g(x)=e^x-e^(-x)-(a+1/a)x，定义域：(-∞，+∞）关于原点对称，且
g(-x)=e^(-x)-e^x+(a+1/a)x=-[e^x-e^(-x)-(a+1/a)x]=-g(x)，∴g(x)是奇函数。
(2).g′(x)=e^x+e^(-x)-(a+1/a)=[e^(2x)+1]/e^x-(a+1/a)=[e^(2x)-(a+1/a)e^x+1]/e^x
=[e^(2x)-(a+1/a)e^x+a(1/a)]/e^x=(e^x-a)(e^x-1/a)]e^x
由于对任何x都有e^x>0，故g′(x)的符号取决于分子(e^x-a)(e^x-1/a)的符号。
当0<a<1时，a<1/a，此时，e^x<a或e^x>1/a，即x<lna或x>ln(1/a)=-lna时，g′(x)>0，即函数g(x)
在区间(-∞，lna)∪(-lna，+∞）内单调增；lna<x<-kna时g′(x)<0，即函数g(x)在区间(lna，-lna)
内单调减；
当a=1时，g′(x)=(e^x-1)²/e^x>0对任何x都成立，故函数g(x)在其全部定义域内单调增；
当a>1时，a>1/a，此时g(x)在(-∞，-lna)∪(lna，+∞）内单调增；在区间(-lna，lna)内单调减。
(3)设-∞<x₂<x₁<+∞，由于f(x)=e^x在区间(-∞，+∞）内连续，可导，故按拉格朗日中值定理，
在(x₂，x₁)内至少存在一点ξ，x₂<ξ<x₁，使得(e^x₁-e^x₂)/(x₁-x₂)=f′(ξ)
即有[f(x₁)-f(x₂)]/(x₁-x₂)=f′(ξ).
f(x)=e^x是单增函数，f′(x)=e^x，f′(ξ)=e^ξ， x₂<(x₁+x₂)/2<x₁，
故f(x₂)<f[(x₂+x₁)/2]<f(ξ)<[f(x₁)+f(x₂)]/2<f(x₁)
即有f[(x₁+x₂)/2]<[f(x₁)-f(x₂)]/(x₁-x₂)<[f(x₁)+f(x₂)]/2

Answer 2

1.g(-x)=f(-x)-f(x)+(a+1/a)x=-g(x)，所以g(x)为奇函数。
2.对g(x)求导得，e^x+e^(-x)-(a+1/a)>0,即为单增区间。

追问

第一问我会，第二问我也会列求导式子，就是解不出~~望详解，谢谢