Question

复变函数一道题求助：|z|<=2，问|z^2-iz|的最大值？灌水的别来，我会取消推荐

请给出过程

Answer 1

　　解：分享一种解法。
　　设z=re^(iθ)，0≤r≤2，则丨z^2-iz丨=r丨re^(i2θ)-ie^(iθ)丨=r丨rcos2θ+irsin2θ-icosθ+sinθ丨=r[(rcos2θ+sinθ)^2+(rsin2θ-cosθ)^2]^(1/2)，
　　而[(rcos2θ+sinθ)^2+(rsin2θ-cosθ)^2]^(1/2)=(r^2+1-2rsinθ)^(1/2)，显然，sinθ=-1时，有最大值，
　　∴r=2时，丨z^2-iz丨的最大值=r(1+r)=6。
　　供参考。

追问

r丨rcos2θ+irsin2θ-icosθ+sinθ丨=r[(rcos2θ+sinθ)^2+(rsin2θ-cosθ)^2]^(1/2)，怎么算的？（rcos2θ+irsin2θ-icosθ+sinθ）^2全部拆分再合并？

追答

　　∵rcos2θ+irsin2θ-icosθ+sinθ=(rcos2θ+sinθ)+i(rsin2θ-cosθ)，∴其模长=[(rcos2θ+sinθ)^2+(rsin2θ-cosθ)^2]^(1/2)。
　　按“(a+b)^2=a^2+2ab+b^2”展开、利用三角函数公式，
　　即得[(rcos2θ)^2+rcos2θ+sinθ)^2+(rsin2θ-cosθ)^2]^(1/2)=(r^2+1-2rsinθ)^(1/2)。
　　供参考。

Answer 2

丨Z^2一IZ丨=|Z|.丨Z一i丨
请画图，以上是原点到Z(X，Y)，及点(0，1)到Z点的距离之积，其取最大值时，Z点必落在丨Z丨=2这个圆上，证明时，请在单位圆内取一点Z，连接OZ，交圆于Z'点。
当Z在圆上时，可设Z=2(cosX+I sinx)
丨Z丨|Z一i|=丨Z一i丨
=2|2cosX十(2sinx一1)i丨
=2根号(5一4sinx)
max=2根号9=6