Question

如图,在△ABC中,AB=AC=10,BC=12,点D是B上一动点(D不与A,B重合),PD⊥

如图,在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，点D是AB上一动点(D不与A,B重合)，PD⊥AB交BC于点P，作∠DPE=∠B【即点D运动点P也运动，∠DPE始终等于∠B】，PB交AC于点E.
（1）请指出图中的相似三角形，并说明理由.【这个我解得出，是△EPC~△PDB.理由就是两角相等.】
（2）当点P运动到PC=3时，求△EPC与△PDB的面积比；【我只能知道PC=3，则BP=9....然后就不知道怎么做了.】
（3）当点D在AB边上运动时，△EPC的面积可能等于△PDB的面积的四倍吗？若可能，请求出BD的长；若不可能，请说明理由.【我完全没有头绪...】

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Answer 1

（1）由于∠DPE=∠B，所以EP⊥BC，于是，就有许多对的相似三角形，（如A形与反A形相似）
（2）既然已经有△EPC~△PDB，则△EPC与△PDB的面积比就等于相似比k的平方，
而k＝EC：BP，由EP＝3，BP=9，EC＝CP/cos∠C＝CP＊AC/CF＝5（其实E为中点）
所以△EPC与△PDB的面积比＝25：81
（3）仍是相似问题。假设使得△EPC的面积等于△PDB的面积的四倍的D点存在，则必有
k＝EC：BP＝2，再转化为BP和CP的关系即可。
下面采用极端法来解：
由于题意中指明PB交AC于点E，所以P一定在线段CF上，即△EPC的面积≤△EAF的面积
当P与F重合时△EPC的面积达到最大，同时△PDB的面积达到最小。
此时k＝EC：BP＝AC：BF＝10：6＜2
所以，不可能！