Question

关于预测劳动力人口的数学模型

我们是第一次接触数学建模，有没有专家指导一下！！！

建立一个，关于预测劳动力人口的数学模型
我们的思路是从人口老龄化和劳动参与率角度，建立我国劳动力人口的预测模型，分析劳动力人口变化对社会可持续发展的影响。
有没有专家提供详细的思路和方法，谢谢咯！！！
是中国劳动人口的预测！！谢谢

Answer 1

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中国人口增长预测
摘要
本文解决的是中国人口增长预测问题。莱斯利模型是进行人口预测的常用模
型，但由于它的不足——这种模型容易受某一年的具体情况影响，而且预测的时
间跨度越长模型的精度越低。我们提出了基于加权的莱斯利改进模型，用以提高
莱斯利模型的精度，综合利用几年的数据，并区分出数据时间远近对某一年预测
的影响程度的不同，根据2001-2005 中国人口调查数据进行了预测，得出
2006—2080 年的人口数量与结构；得出人口峰值在2030 左右出现，峰值为14.3
亿，老龄化指数的峰值将在2050 年左右达到峰值。
又基于人口问题与经济、教育水平相互影响，建立了两个表征人口数量，结
构以及人均GDP 关系的线性对数方程，并分别利用多元回归拟合出了模型参数。
考虑到目前我国人口老龄化、人口结构不合理等问题较突出，利用预测模型
求得的数据，我们适当的改变了总和生育率的值来反映政策改变对模型的影响。
得出如果在2025 年开放二胎，人口峰值将会推迟到2050 到达，峰值为15.3 亿，
老龄化水平也将有所降低。
最后对模型的优点和缺点进行了评价。
关键词 人口预测 莱斯利模型 加权模型 多元回归
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一．问题重述
1.1 问题背景
中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。自从
上世纪八十年代初施行计划生育政策以来，人口数量在一定程度上得到了有效的
控制，相比开放政策二十几年来减少了四亿多人。同时由于现阶段人口多处于劳
动年龄内使得我国人均GDP 得到了快速的发展。但由于2005-2020 年间，20 岁
-29 岁育龄期妇女数量将形成一个高峰，同时，由于实施计划生育政策期间的独
生子女也陆续进入生育年龄，现行生育政策内生育水平将有所提高，进而导致中
国第四次人口出生高峰的到来。
由于多年计划生育政策的实行，导致家庭组成呈现“4-2-1”的模式，劳动
力负担加重，据2000 年调查显示，65 岁以上老年人口比重达7%以上，根据国
际标准，中国已经进入了老龄化社会。且中国社会老龄化呈现速度快，规模大，
“未富先老”的特点，对未来社会经济发展，社会保障带来负面影响。
目前人口性别比持续升高，“108-111-118”打破了人口性别比的平衡，也给
社会稳定带来了不稳定的因子。
大量农村人口进城务工，在为城市提供了大量劳动力的同时，也促进了农村
经济的发展。同时受高层教育的人口数量大幅增多，受小学教育的人口比重逐步
下降，推动城市化的进程。
1.2 需要解决的问题
基于上述条件，再加上对相关数据的处理，建立模型对中国人口增长的中短
期和长期趋势做出预测。
二．问题分析
人口数量受人口结构﹑出生率﹑死亡率﹑老龄化﹑经济水平﹑城市化﹑受
教育水平等多种因素的影响。基于此，我们首先建立了改进的加权莱斯利模型---
考虑年龄结构的未来人口预测。基于此模型预测出的数据以及老龄化指数对人口
老龄化做出预测。在基本模型的基础上加入影响因素循序渐进，由简及繁的层层
分析处理，最终得出人口数量较全面的预测。
指出：所给数据中2003 年无论市﹑镇还是乡育龄妇女各年龄段生育率明显
过分偏底，与实际不符，仔细观察我们发现其数据与其他各年份相比大致相差一
个数量级，故我们把附录2003 年育龄妇女的生育率由千分率改成百分率处理。。
三．名词解释与符号系统
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2.1 名词解释
出生人口性别比：是活产男婴数与活产女婴数的比值，通常用女婴数量为100
时所对应的男婴数来表示。正常情况下，出生性别比是由生物学规律决定的，保
持在103～107 之间。
总和生育率：一定时期（如某一年）各年龄组妇女生育率的合计数，说明每
名妇女按照某一年的各年龄组生育率度过育龄期，平均可能生育的子女数，是衡
量生育水平最常用的指标之一。
更替水平：指这样一个生育水平，同一批妇女生育女儿的数量恰好能替代
她们本身。一旦达到生育更替水平，出生和死亡将逐渐趋于均衡，在没有国际迁
入与迁出的情况下，人口将最终停止增长，保持稳定状态。这个过程所需的时间
依人口年龄结构的不同而不同。目前，几乎所有发达国家的生育率都已达到或低
于更替水平。一般认为，总和生育率为 2.1 即达到了生育更替水平。之所以为 2.1
而不是 2.0 （一个孩子对应父母中的一个），是由于在出生时，男孩数要略多
于女孩数，且一部分女孩将在育龄期前死亡。发展中国家的死亡率较高，因此，
达到生育更替水平的总和生育率一般高于 2.1 。
出生率：也称毛出生率。是指一定时期通常为一年时间内某特定地区的新出
生人口数与同一时期内期中人口数或平均人口数的比值，用千分比表示。本篇文
章中出现的出生率均指年出生率，计算公式为：
出生率= 0
×100 0
平均人口数年
新出生人口数年
其中新出生人口数是指脱离母体时无论发生何种意外事故亦不管怀孕月数
早晚产与否有过生命现象比如呼吸或其他的婴儿数。平均人数年是指年初人数
和年底人数的平均数当然也可以用年中人口数代替。
死亡率：也称毛死亡率。是指一定时期通常为一年时间内某特定地区的死亡人数
与同一时期内期中人口数或平均人口数的比值，用千分比表示。本篇文章中出现
的死亡率均指年死亡率，计算公式为：
死亡率= 0
×100 0
平均人口数年
死亡人口数年
人口老龄化：指人口中老年人比重日益上升的现象。老龄化指数：用公式表示为
老龄化指数= 0
×100 0
人口平均寿命
人口平均年龄
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2.2 符号系统
k：年龄组别，k=0，1，2，…，90
根据基于加权的改进莱斯利模型预测出来的人口结构的数据，再参考国外教
育水平发展的经验，我们可以预测我国人均GDP 的增长，而预测出来的人均GDP
数值又可以反过来预测人口的自然增长率。
4.4 对政策制定者的建议:
目前我国人口老龄化，人口结构不合理等问题比较严重，这就需要适时的改
变一些人口政策，来缓解，解决这些问题。
政策改变的原则
（1） 人口峰值总量控制在15 亿左右
（2） 要保持经济的持续发展
（3） 避免低生育水平出现反弹
为了避免低生育水平出现反弹，人口规模失去控制，政策的开放时间不应早
于2020 年。我们知道我国在上世纪八十年代初期开始实行计划生育政策，在九
十年代政策执行的已经较为普遍，这一批独生子女将在2015 年左右将达到生育
年龄，为了缓解老龄化问题，以及独生子女赡养老人负担过重的问题，避免连续
两代人均为独生子女，政策开放的时间应不晚于2030 年。综上所述我们把政策
执行的时间定在2025 年。
我们所说的开放人口政策是指允许生育二胎。
几乎所有发达国家的生育都达到了更替水平，一般认为总和生育率为2.1 时
即达到了生育更替水平，所以我们把政策调整后的总和生育率β (t)定为2.1。
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可以看出政策调整后人口高峰推迟到2050 年左右，而人口峰值则达到了
15.3 亿，这符合了我国要把人口峰值控制在15 亿左右的目标。而且对于我国的
长远发展是有好处的。
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可以看出政策调整后，老龄化指数有一定程度的下降，这在一定程度可以缓
解人口老龄化问题。
可以看出政策执行前后人均 GDP 改变不大，这是由于控制了人口数量，而
且人口素质和城镇化水平在不断提高
五．模型的优缺点
5.1 模型的优点
（1）本文建立的基于加权的改进莱斯利模型充分利用了数据，并克服了传
统莱斯利模型仅仅利用某一年的数据的局限性，同时也保持了人口数据在时间的
延续性，预测结果证明这种改进有一定的可行性。
（2）模型不是一味的采用加权的思想，而是区分了控制变量和状态变量本
身性质方面的区别，而加以区别考虑。
（3）模型不仅预测了人口本身的数据，还研究了人口增长与经济增长之间
的关系模型，而且模型的参数拟合度和显著性都较高。
（4）模型通过对控制变量的改变来模拟政策的改变，这使得模型对实际的
指导意义比较大。
（5）模型考虑了城乡差别及出生人口性别比等问题，符合我国的国情。
5.2 模型的缺点
（1）模型未考虑人口迁移，环境因素对模型的影响。
（2）权重的确定没有充分的理论依据
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六．模型的推广方向
（1）可考虑人口迁移和环境，人口素质的提高等因素对模型的影响
（2）在政策的调整中，政策的制定可以考虑从“只生一胎”到“开放二胎”
之间的过度政策，可以有条件的开放二胎，比如允许夫妻双方均是独生子女的家
庭生育二胎，这种政策改变的软着陆不仅可以在一定程度上缓解社会矛盾，还可
以保持计划生育的成果，避免低生育水平的反弹。
（3）确定权重时可根据历史数据反复验证来确定
七．参考文献
[1]谭永基等，数学模型，上海：复旦大学出版社，2005.2。
[2]李政，我国人口增长的经济和教育因素的实证检验，西北人口，第 28 卷，
2007 年第2 期
[3]姜启源等，数学模型，北京：高等教育出版社，2003
[4]王沫杰，MATLAB 与科学计算，北京：电子工业出版社
[5]刘家树，我国人口结构与经济增长关系实证分析，安徽工业大学学报，第24
卷，2007 年4 月第2 期。
[6]薛定宇，陈阳泉高等应用数学问题的 MATLAB 求解北京：清华大学出版社，
2004.8。

Answer 2

表1：美国人口统计数据
年 1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860
人口 3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4
年 1870 1880 1890 1900 1910 1920 1930 1940
人口 38.6 50.2 62.9 76.0 92.0 106.5 123.2 131.7
年 1950 1960 1970 1980 1990 2000
人口 150.7 179.3 204.0 226.5 251.4 281.4
（1）请利用指数增长模型（Malthus模型）建立美国人口预报模型，并分析预报数据与实际数据的拟合度如何？
（2）请利用自限模型（Logistic模型）建立美国人口预报模型预报2010年数据，并与实际数据对比。

Answer 3

介绍本书《数学建模》姜启源，谢金星，叶俊编

Answer 4

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