如图所示,在△ABC中,AB=AC,P是BC上任一点,PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,BD⊥AC于D,求证:PE+PF=BD
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作PM⊥BD,所以PF=DM,所以下面我们只需证明PE=BM
因为∠PEB=∠PFC=90,∠ABC=∠C,所以∠FPC=∠EPB,
而因为PF∥DB,所以∠FPC=∠DBC,所以∠EPB=∠DBC
又因为PM∥DC,所以∠C=∠MPB,而∠C=∠ABC,所以∠ABC=∠MPB,
所以在△MPB和△EBP中:∠ABC=∠MPB,∠EPB=∠DBC,BP=BP,
所以△MPB≌△EBP,所以MB=PE,所以BD=PE+PF
因为∠PEB=∠PFC=90,∠ABC=∠C,所以∠FPC=∠EPB,
而因为PF∥DB,所以∠FPC=∠DBC,所以∠EPB=∠DBC
又因为PM∥DC,所以∠C=∠MPB,而∠C=∠ABC,所以∠ABC=∠MPB,
所以在△MPB和△EBP中:∠ABC=∠MPB,∠EPB=∠DBC,BP=BP,
所以△MPB≌△EBP,所以MB=PE,所以BD=PE+PF
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