Question

利用基本不等式求最值：已知x,y属于R+,且2x+y=3,求1/(2x+1)+1/(y+2)的最小值

Answer 1

解：首先令Z=1/(2x+1)+1/(y+2)；
然后利用2x+y=3,将上式变型为Z=1/(4-y)+1/(y+2)；
然后对上式进行通分得：Z=6/(4-y)(y+2)；
接下来利用基本不等式：ab<=((a+b)/2)^2 得到如下：
(4-y)(y+2)<=((4-y+y+2)/2)^2
整理得：(4-y)(y+2)<=9，进而得到1/(4-y)(y+2) >=1/9；
即得出Z>=2/3；
当4-y=y+2时，即y=1时，Z取得最小值2/3,
当y=1时，得出x=1，满足条件。
所以当x=1，y=1时，原式取得最小值2/3.

Answer 2

(2x+1)+(y+2)=6,1/(2x+1)+1/(y+2)=[(2x+1)+(y+2)][1/(2x+1)+1/(y+2)]/6
=[2+(2x+1)/(y+2)+(y+2)/(2x+1)]/6>=(2+2根号1）/6=2/3, 当2x+1=Y+2=3时,x=y=1,原式取最小值2/3