Question

如图，△ABC的面积为3，且AB等＝AC，现将△ABC沿CA方向平移CA长度得到△EFA. （1）求四边形CEFB面积；

（1）求四边形CEFB面积；
（2）试判断AF与BE的位置关系，说明理由；
（3）若∠BEC＝15°，求AC的长。

图：

Answer 1

（1）用边边边证明，△ABC≌⊿BAF，则四边形CEFB面积是△ABC的面积的3倍
（2）由AE=EF=FB=AB得四边形AEFB是菱形，所以对角线AF与BE互相垂直平分
（3）若∠BEC＝15°，则∠CAB=∠AEF＝30°，过点B作BG⊥AC于G，则AG=1/2AB
，△ABC面积＝1/2AC×BG=1/2AC×1/2AB=1/2AC×1/2AC，解得AC=2根号3

Answer 2

：（1）由平移的性质得
AF∥BC，且AF=BC，△EFA≌△ABC
∴四边形AFBC为平行四边形
S△EFA=S△BAF=S△ABC=3
∴四边形EFBC的面积为9；

（2）BE⊥AF
证明：由（1）知四边形AFBC为平行四边形
∴BF∥AC，且BF=AC
又∵AE=CA
∴BF∥AE且BF=AE
∴四边形EFBA为平行四边形又已知AB=AC
∴AB=AE
∴平行四边形EFBA为菱形
∴BE⊥AF；

（3）如上图，作BD⊥AC于D
∵∠BEC=15°，AE=AB
∴∠EBA=∠BEC=15°
∴∠BAC=2∠BEC=30°
∴在Rt△BAD中，AB=2BD
设BD=x，则AC=AB=2x
∵S△ABC=3，且S△ABC=1 2 AC•BD=1根号 2 •2x•x=x平方
∴x平方=3
∵x为正数
∴x= 根号3
∴AC=2根号3 ．

Answer 3

解：（1）由平移的性质得

AF∥BC，且AF=BC，△EFA≌△ABC

∴四边形AFBC为平行四边形

S△EFA=S△BAF=S△ABC=3

∴四边形EFBC的面积为9；

（2）BE⊥AF

证明：由（1）知四边形AFBC为平行四边形

∴BF∥AC，且BF=AC

又∵AE=CA

∴BF∥AE且BF=AE

∴四边形EFBA为平行四边形又已知AB=AC

∴AB=AE

∴平行四边形EFBA为菱形

∴BE⊥AF；

（3）如上图，作BD⊥AC于D

∵∠BEC=15°，AE=AB

∴∠EBA=∠BEC=15°

∴∠BAC=2∠BEC=30°

∴在Rt△BAD中，AB=2BD

设BD=x，则AC=AB=2x

∵S△ABC=3，且S△ABC=1 2 AC•BD=1 2 •2x•x=x2

∴x2=3

∵x为正数

∴x= 3 

∴AC=2 3 ．

Answer 4

解：（1）连接BF，由题意知△ABC≌△EFA，BA∥EF，且BA=EF
∴四边形ABFE为平行四边形，
∴S平行四边形ABFE=2S△EAF
∴△ABC扫过图形的面积为S△ABC+S平行四边形ABFE=3+6=9；

（2）由（1）知四边形ABFE为平行四边形，且AB=AE，
∴四边形ABFE为菱形，
∴AF与BE互相垂直且平分．

（3）过点B作BD⊥CA于点D，
∵AB=AE，
∴∠AEB=∠ABE=15°．
∴∠BAD=30°BD=1 2 AB=1 2 AC．
∴1 2 BD•AC=3，1 2 •1 2 AC•AC=3．
∴AC2=12．
∴AC=2 根号3 ．

Answer 5

3.3=9
垂直。可证aefb为菱形