Question

初二数学题，不是很难，但有难度，跪求过程与答案，谢谢！！！

1.证明：2009×2010×2011×2012+1是一个整数的平方。

2.自然数A。B。C。D。满足1/A²+1/B²+1/C²+1/D²=1，则1/A³+1/B³+1/C³+1/D³=多少？

3.△ABC中，∠C=90°，点M在BC上，且BM=AC，点N在AC上且AN=MC，AM与BN交于点P，求证∠BPM=45°

Answer 1

1.
2009×2010×2011×2012+1
=2009×﹙2009＋1﹚×﹙2009＋2﹚×﹙2009＋3﹚＋1
=﹙2009²＋3×2009﹚×﹙2009²＋3×2009＋2﹚＋1
=﹙2009²＋3×2009﹚²＋2×﹙2009²＋3×2009﹚＋1
=﹙2009²＋3×2009＋1﹚²；
2.
因为ABCD均为自然数，只有当A=B=C=D=2时，满足1/A²+1/B²+1/C²+1/D²=1
所以1/A³+1/B³+1/C³+1/D³=1/2；
3.
过M作AC的平行线，过A作BC的平行线，两线交于Q。连结NQ。QM与BN交于S。
容易知道∠AQN=∠BQN=45,∴∠BQN=90º=∠MQA,
又AQ:QN=QM:QB,
∴△QAM∽△QNB,
∴∠AMQ=NBQ,
又∠PSM=∠QSB,
∴根据三角形内角和等于180，得
∠MPS=∠BQS，
∵∠BQS=45,
∴∠BPM=∠MPS=∠BQS=45°，

希望对你有帮助
参考资料：
http://zhidao.baidu.com/question/166916426.html?fr=qrl&cid=983&index=1

Answer 2

1.
2009×2010×2011×2012+1
=2009×﹙2009＋1﹚×﹙2009＋2﹚×﹙2009＋3﹚＋1
=﹙2009²＋3×2009﹚×﹙2009²＋3×2009＋2﹚＋1
=﹙2009²＋3×2009﹚²＋2×﹙2009²＋3×2009﹚＋1
=﹙2009²＋3×2009＋1﹚²；
2.
因为ABCD均为自然数，只有当A=B=C=D=2时，满足1/A²+1/B²+1/C²+1/D²=1
所以1/A³+1/B³+1/C³+1/D³=1/2；
3.
过M作AC的平行线，过A作BC的平行线，两线交于Q。连结NQ。QM与BN交于S。
容易知道∠AQN=∠BQN=45,∴∠BQN=90º=∠MQA,
又AQ:QN=QM:QB,
∴△QAM∽△QNB,
∴∠AMQ=NBQ,
又∠PSM=∠QSB,
∴根据三角形内角和等于180，得
∠MPS=∠BQS，
∵∠BQS=45,
∴∠BPM=∠MPS=∠BQS=45°

Answer 3

(1).
28是神秘数:8*8 - 6*6 = 28
2012是神秘数:504*504 - 502*502 = 2012
(2).
证明 ： (2k+2)^2 - 4k^2 的值是4的倍数
=4k^2 + 8K + 4 - 4k^2
=4+8K
=4(1+2k)
4(1+2k)是4的倍数

(3).
神秘数定义如题所说：
如果一个正整数能表示为两个连续 偶 数的平方差那么这个正整数为神秘数

(2x)^2 - (2y)^2 （x > y）
神秘数是偶数，
而
两个连续奇数的平方差（取正数）
(k-1)^2 - k^2 = 2k + 1
为奇数

所以
个连续奇数的平方差（取正数 ） 不是神秘数。

Answer 4

1.
a*(a+1)*(a+2)*(a+3)+1=a*(a+3)*(a+1)*(a+2)+1=(a^2+3a)*(a^2+3a+2)+1=b*(b+2)+1=(b+1)^2
2.
ABCD都是2。每一项最大是四分之一，一除外噢。
3.
http://zhidao.baidu.com/question/111587345.html