Question

求y=shx(x∈R)的反函数。要有详细过程。

Answer 1

y=shx(x∈R)的反函数如下：

^y=sh(x)=(e^x-e^-x)/2：

令e^x=t>0；2y=t-1/t；t²-1-2yt=0；t=y+√(y²+1)  (y-√(y²+1)<0) 。

∴e^x=y+√(y²+1)。

x=ln[y+√(y²+1)]。

∴反函数：y=ln[x+√(x²+1)]。

反函数性质：

（1）函数f(x)与它的反函数f-1(x)图象关于直线y=x对称；

（2）函数存在反函数的充要条件是，函数的定义域与值域是一一映射；

（3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；

（4）大部分偶函数不存在反函数（当函数y=f(x)， 定义域是{0} 且 f(x)=C （其中C是常数），则函数f(x)是偶函数且有反函数，其反函数的定义域是{C}，值域为{0} ）。

奇函数不一定存在反函数，被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数。若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数。

（5）一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性；

（6）严增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数；

（7）反函数是相互的且具有唯一性；

（8）定义域、值域相反对应法则互逆（三反）。

Answer 2

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 3

y=sh(x)=(e^x-e^-x)/2
令e^x=t>0
2y=t-1/t
t²-1-2yt=0
t=y+√(y²+1) (y-√(y²+1)<0)
∴e^x=y+√(y²+1)
x=ln[y+√(y²+1)]
∴反函数：y=ln[x+√(x²+1)]