Question

已知点P是圆O:X平方+Y平方=9上的任意一点,过点P作PD垂直于X轴于点D,动点Q满足向量DQ=向量2/3DP

（1）求动点Q的轨迹方程
（2）已知点E（1。1），在动点Q的轨迹上是否纯在不重合的两点M，N，使响亮OE=向量1/2（OM+ON）O是坐标原点，若存在，求出直线MN的方程；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）设点P(m, n)，则D(m, 0)，向量DP=(0, n)；
设点Q(x, y)，向量DQ=(x-m, y)；
DQ=2/3DP，即(x-m, y)=2/3(0, n)=(0, 2n/3)，所以得，x-m=0; y=2n/3
即，m=x; n=3y/2
又P(m, n)为已知圆O上的点，即P(x, 3y/2)满足圆的方程：x²+y²=9
即得，x²+(3y/2)²=9，化解即为：x²/9+y²/4=1
显然，点Q的轨迹是一个焦点在x轴上，a=3, b=2, c=√5的椭圆。
（2）设动点Q的轨迹上纯在不重合的两点M，N，使向量OE=1/2 (OM+ON)成立，
由已知向量OE=(1, 1)；若设点M、N的坐标分别为：M(x1, y1), N(x2, y2)，
则向量OM=(x1, y1)，ON=(x2, y2)，向量1/2 (OM+ON)=[(x1+y1)/2, (y1+y2)/2]
①当MN所在的直线的斜率K不存在的时候，即MN为垂直于X轴的直线时，
若设MN所在直线方程为：x=p （-3<p<3，MN需与椭圆有两交点，故必相交）
把x=p代入（1）中所求椭圆的方程，化解则可得：9y²+4p²-36=0
(x1+x2)/2=p，(y1+y2)/2=-b/2a=0
向量1/2 (OM+ON)=[(x1+y1)/2, (y1+y2)/2]=(p, 0)≠OE,
即MN所在的直线的斜率K存在。
②当MN所在的直线的斜率K存在的时候，即MN为与X轴斜交的直线时，
若设MN所在直线方程为：y=kx + b，与（1）中所求椭圆的方程联立可得，
(4+9k²)x² + 18kbx + 9(b²-4)=0，⊿=(18kb)² -4*(4+9k²)*9(b²-4)>0
根据韦达定理则可得，(x1+x2)/2= - 9kb/(4+9k²)，(y1+y2)/2= - 9k²b/(4+9k²) +b
若向量1/2 (OM+ON)=OE=(1, 1)，
即，(x1+x2)/2= - 9kb/(4+9k²)=1 -A
(y1+y2)/2= - 9k²b/(4+9k²) +b=1 -B
联立A、B两方程（A代入B即得k+b=1，此式代入A即得4+9k=0），求解得，
k=-4/9，b=13/9，经检验，使得⊿>0成立，
所以，求得直线MN的方程为：y=-4x/9 + 13/9

望能帮助读者释疑！