Question

已知函数f(x)=1/3ax^3+1/2bx^2+cx(a>0). 若函数f(x)有三个零点分别为x1,x2,x3,且x1+x2+x3=-3,x1x2=-9

(1)求函数f(x)的单调区间
（2）若函数f(x)在区间（-2，-1）上单调减函数，且函数f(x)的图象与直线Y=1有且仅有一个公共点，求实数a的取值范围

Answer 1

（1）∵f(x)=1/3ax^3+1/2bx^2+cx(a>0)=f(x)=(1/3ax^2+1/2bx+c)x(a>0)
∴函数f(x)必有一零点为x=0，∵x1x2=-9≠0 ∴x3=0 ∴x1+x2=-3
根据根与系数的关系：-(1/2b)/(1/3a)=-3 c/(1/3a)=-9
∴b=2a c=-3a 即f(x)=1/3ax^3+ax^2-3ax ∴f'(x)=a(x^2+2x-3)=a(x+3)(x-1)
∴函数f(x)的单调增区间为(-∞,-3)∪(1,+∞), 单调减区间为[-3,1]
（2）根据（1）中求出的单调区间可知，f(x)在x=-3处取得极大值。
要使函数f(x)的图象与直线Y=1有且仅有一个公共点，只需f(-3)<1即可
即-9a+9a+9a<1 解得a<1/9
∴a的取值范围为(0,1/9)