Question

求函数f(x)=|x-1|+|2x-1|+……+|119x-1|的最小值

Answer 1

这个题目要用到含绝对值不等式|a|+|b|≥|a-b|（其中等号成立条件是ab≤0）
对于|nx-1|要分成n个|x-1/n|相加
于是f(x)中可以写成1+2+3+……+119=7140个绝对值之和，将这些绝对值分成3570对，首尾等距为一对。1+2+3+……+84=3570
|x-1|+|x-1/119|≥118/119(当且仅当1/119≤x≤1时取等号)
|x-1/2|+|x-1/119|≥117/238(当且仅当1/119≤x≤1/2时取等号)
|x-1/2|+|x-1/119|≥117/238(当且仅当1/119≤x≤1/2时取等号)
|x-1/3|+|x-1/119|≥116/357(当且仅当1/119≤x≤1/3时取等号)
……
|x-1/84|+|x-1/85|≥1/7140(当且仅当1/85≤x≤84时取等号)
上面3570个不等式在1/85≤x≤1/84时同时取等号。
于是当1/85≤x≤1/84时函数f(x)取得最小值f(1/84)=84-1/84(1+2+3+……+84)+1/84(85+86+……+119)-35=49。

Answer 2

1,1/2,1/3,....1/119这119个点将区间分开，令：
考虑每一区间：1/k=<x<1/(k-1), k=1,2,...119
f(x)=(1-x)+(1-2x)+....+[1-(k-1)x]+(kx-1)+...+(119x-1)
=(k-1)-x(1+k-1)(k-1)/2+(k+119)/(119-k+1)x/2-(119-k+1)
=2k-121+(k^2+k+7140)x
在此区间，x取最小1/k时，得最小值fmin=3(k+2380/k)-120>=3√2380-120
2380的平方根约为48.8,
因此所有区间中最小的是最接近48.8的整数，
即k=49时，x=1/49,取最小值=3(49+2380/49)-120=172.7

Answer 3

算难倒我了这题，想了二十几分钟！

Answer 4

题目貌似不全啊
x的条件是什么啊

追问

x无条件呀

追答

我。。这个倒