Question

二重积分证明题

积分函数为e^(x²+y²)

第一个积分区域为 0≤x≤a,0≤y≤a;
第二个积分区域为(x²+y²)≤(4a²/π)在第一象限及两坐标轴正半轴区域

证明：第一个积分≥第二个积分

希望大家不吝赐教 谢谢

Answer 1

1）由于x^2+y^2对于x,y是偶函数，因此可将两者的积分区域都扩展到全平面，此时新得到的两个积分分别是原来的四倍。（这一步没有也没关系，在第一象限可一样考虑）
2）此时第一个积分的积分区域是一个边长为2a,面积为4a^2的正方形，第二个积分的积分区域是面积为4a^2的圆。积分区域面积相等。因此只需要比较被积函数的大小
3) 做图知（我上图不容易，你自己画一下就知道了），两个积分区域的差别，除去公共部分，第一个积分区域多出来的部分都有x^2+y^2>=4a²/π,而第二个积分多出来的区域则有(x²+y²)≤(4a²/π)。由于被积函数就是e^(x^2+y^2),因此第一个积分大于第2个积分。 （至于你题中的等号，只有a=0才可能取到）