Question

请教初二几何

如图，P为正三角形内的一点，PA=2，PB=2√3，PC=4，求此正三角形的边长。要证明过程。
传图

Answer 1

设P为正三角形ABC平面上任一点，PA=a,PB=b,PC=c，求正三角形ABC的边长。
解：以PB为边向△ABC外作正三角形DBP，连接AD
设正△ABC的边长为m
因为∠ABC=∠ABP+∠PBC=60°
∠DBP=∠DBA+∠ABP=60°
所以，∠DBA=∠PBC
又因为DB=PB=b，AB=CB=m
所以，△DBA≌△PBC
所以，AD=PC=c
那么，在△ADP中，令∠ADP=θ，那么：
cosθ=(b^+c^-a^)/(2bc)
所以，sinθ=√[2(a^b^+b^c^+c^a^)-(a^4+b^4+c^4)]/(2bc)
那么，在△ADB中，根据余弦定理有：
AB^=AD^+BD^-2AD*BD*cos∠ADB
即：
m^=b^+c^-2bccos(θ+60°)
=b^+c^-2bc[cosθcos60°-sinθsin60°]
=(b^+c^)-bccosθ+√3bcsinθ
=(b^+c^)-[(b^+c^-a^)/2]+√3bc*√[2(a^b^+b^c^+c^a^)-(a^4+b^4+c^4)]/(2bc)
=(a^+b^+c^)/2+(√3/2)*√[2(a^b^+b^c^+c^a^)-(a^4+b^4+c^4)]
所以，
m={(a^+b^+c^)/2+(√3/2)*√[2(a^b^+b^c^+c^a^)-(a^4+b^4+c^4)]}^(1/2)

以上供你参考，然后直接代值计算，求正三角形边长。

追问

我都看晕了。
开始我直接用余弦定理求解，列方程，结果都出现4次方了，所以我解不下去了。答案是用纯几何的方法证明的，但很长，所以那些A、B、C……的字母把我折腾晕了，所以上来请教下。

追答

不过也可以直接做。【看我的图】

解：将三角形APB逆时针转60°与三角形AP'C重合。
所以三角形AP'P是正三角形，所以在三角形CP'P中，PP'=2，P'C=PB=2根号3，PC=4.
所以三角形CP'P是直角三角形，且∠P'CP=30°，即∠ABP+∠ACP=30°，
所以∠PBC+∠PCB=120°－30°=90°
所以△PBC是直角三角形
所以正三角形边长=(2根号3的平方+4的平方)的算术平方根=2根号7

Answer 2

先画图 找角
我在手机上不好画

追问

我传图了，怎么还没有出现呢？摆渡的服务器到底怎么回师？

Answer 3

..这是初二几何么。。？

追问

..这是初二学过的旋转加勾股定理。。