Question

高一数学数列

设数列{an}的首项a1∈（0,1），an=(3-a(n-1))/2，n=2,3,4,···
（1）求{an}的通项公式
（2）设bn=an√（3-2an），证明bn<b(n+1)，其中n为正整数
方法详细点

Answer 1

解：（1）
分析：这个题是通过递推公式求通项公式，而形如an=pan-1+q的递推公式一定可以化为
an+A=p(an-1+A)其中A为待定系数，可与原通项比较可得A，那么数列an+A就是一个等比数列了，这样可以先求出这个数列，然后再求出an，具体步骤如下：
由an=3/2-1/2an-1可得
an-1=-1/2(an-1-1)
那么数列{an-1}是一个公比为-1/2的等比数列
则an-1=(a1-1)(-1/2)^(n-1)
即an=1+(a1-1)(-1/2)^(n-1)

注：a^b表示a的b次幂

（2）
分析：要证明bn与bn+1的大小，而bn是一个与an相关的数列，且带有根号的形式，最容易想到的是比较法，直接作差是第一想法，但是，由于有根号不易化简，很容易想到平方之后再作差，化简之后可得到差与an的关系，通过an的符号或其他关系来判断差的符号，从而得出大小关系。具体如下：
bn=an*(3-2an)^1/2
那么bn^2=an^2(3-2an)
而由an=(3-a(n-1))/2得2an+1=3-an
而bn+1^2=an+1^2(3-2an+1)=an+1^2(3-(3-2an))=an+1^2*an
bn+1^2-bn^2=an+1^2*an-an^2(3-2an)
=an(an+1^2-an(3-2an))
=an(((3-an)/2)^2-an(3-2an))
=an(9/4-3/2an+1/4an^2-3an+2an^2)
=9/4an(an^2-2an+1)
=9/4an(an-1)^2
又因为an=(3-a(n-1))/2且a1∈（0,1）
很容易由数学归纳法说明an>0，那么bn+1^2-bn^2>0
那么由bn=an*(3-2an)^1/2可知bn>0
则bn<bn+1