Question

双曲线的题

已知双曲线的焦点为F1（—c,0)，F2（c,0),过F2且斜率为√3/5的直线交双曲线与P,Q两点，若OP⊥OQ，丨PQ丨=4，求双曲线的方程。

Answer 1

说明：你给的斜率是5分之根号3，带入后算起来很麻烦，我把斜率看成根号下（5分之3），得到下面的结果，这种类型题方法都是一样的。

解：设双曲线的方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)
直线方程为y=√（3/5）(x-c)，两方程联立，
整理得(5b^2-3a^2)x^2+6a^2cx-(3a^2c^2+5a^2b^2)=0
若5b^2-3a^2=0,则b/a=√(3/5),即直线与双曲线的一条渐近线平行，
与双曲线只能有一个交点，所以5b^2-3a^2≠0
设P（x1，√(3/5)(x1-c)）,Q（x2，√(3/5)(x2-c) ）
x1+x2=-6a^2c/(5b^2-3a^2)，x1*x2=-(3a^2c^2+5a^2b^2)/(5b^2-3a^2)
OP⊥OQ，向量OP*OQ=x1*x2+√(3/5)(x1-c)*√(3/5)(x2-c)=0
整理得8x1x2-3c(x1+x2)+3c^2=0,c^2=a^2+b^2
3a^4+8a^2b^2-3b^4=0,(a^2+3b^2)(3a^2-b^2)=0
所以3a^2-b^2=0,即b^2=3a^2,c=√(a^2+b^2)=2a
所以x1+x2=-a,x1*x2=-9/4a^2
由|PQ|=4得|PQ|=√(1+k^2)|x1-x2|=√(1+3/5)*√[(x1+x2)^2-4x1*x2]=4
4a=4,a=1,b^2=3
所以双曲线方程为x^2-y^2/3=1