Question

设等差数列{an}的前n项和为Sn,且a5+a13=34,S3=9. （1）求数列{an}的通项公式及前n项和公式。

（2）设数列{bn}的通项公式为bn=an/(an+t),问是否存在正整数t,使得b1,b2,bm(m≥3，m∈整数）成等差数列，若存在求出t和m的值，若不存在，请说明理由！

Answer 1

解：
（1）由等差数列的性质：a5+a13=2a9=34，所以a9=17
S3=3(a1+a3)/2=3a2=9，所以a2=3
同公差为d=(a9-a2)/(9-2)=2，所以an=a2+(n-2)d=2n-1
前n项和为Sn=n^2
（2）假设存在这样的整数t和m，由bn=an/(an+t)得
b1=1/(1+t)，b2=3/(3+t)，bm=(2m-1)/(2m-1+t)
由于b1，b2，bm成等比数列可知：
[3/(3+t)]^2=[1/(1+t)]*[(2m-1)/(2m-1+t)]
化简得m=(5t+3)/(t-3)
现在只要找出满足上式的整数m和t即可
上式变形为
m=5+18/(t-3)
要使m为整数，则（t-3）=1，2，3，6，9，18
即t=4，5，6，9，12，21
此时m分别为23，14，11，8，7，6
即存在m=6，t=21或m=7，t=12或m=8，t=9或m=11，t=6或m=14，t=5或m=23，t=4满足题意。

Answer 2

等差数列{an}的前n项和为Sn，且a5+a13=34，S3=9．
（1）求数列{an}的通项公式及前n项和公式；
（2）设数列{bn}的通项公式为bn=anan+t
，问：是否存在正整数t，使得b1，b2，bm（m≥3，m∈N）成等差数列？若存在，求出t和m的值；若不存在，请说明理由．考点：等差数列的性质．专题：综合题；探究型．分析：（1）设出等差数列的公差为d，根据等差数列的性质及通项公式化简a5+a13=34，S3=9，即可求出首项和公差，分别写出通项公式及前n项和的公式即可；
（2）把（1）求得的通项公式an代入bn=an
an+t
得到数列{bn}的通项公式，因为b1，b2，bm成等差数列，所以2b2=b1+bm，利用求出的通项公式化简，解出m，因为m与t都为正整数，所以得到此时t和m的值即可．解答：解：（1）设等差数列{an}的公差为d．由已知得 a5+a13=34 3a2=9
即 a1+8d=17 a1+d=3 解得 a1=1 d=2 ．
故an=2n-1，Sn=n2
（2）由（1）知bn=2n-1 2n-1+t ．要使b1，b2，bm成等差数列，必须2b2=b1+bm，
即2×3 3+t =1 1+t +2m-1 2m-1+t ，（8分）．
整理得m=3+4 t-1 ，
因为m，t为正整数，所以t只能取2，3，5．
当t=2时，m=7；当t=3时，m=5；当t=5时，m=4．
故存在正整数t，使得b1，b2，bm成等差数列．点评：此题考查学生灵活运用等差数列的性质、通项公式及前n项和的公式化简求值，是一道中档题．

Answer 3