Question

三角形ABC内接于圆O，AD垂直BC，OE垂直BC，OE=1|2BC

❶求角BAC的度数
❷将三角形ABD沿AC折叠为三角形ACF,将三角形ADB折叠为三角形ABG,延长FC和GB相交 于点H。求证：四边形AFHG是正方形。
❸若BD=6,CD=4,求AD的长。

Answer 1

（1）∵OE⊥BC，OE=BC，
∴∠EOC=∠OCE=45°同理∠BOE=45°
即∠BOC=90°，△ABC内切于圆O
∴∠BAC=1/2∠BOC=45°
（2）由（1）得∠BAC=45°
即∠BAD+∠CAD=45°
∵∠BAG=∠BAD，∠CAF=∠CAD
∴∠GAF=∠BAG+∠BAC+∠CAF=2∠BAC=90°
又∵∠BGA=∠CFA=90°
∴四边形AFHG为矩形，∵AG=AF=AD
∴四边形AFHG为正方形
（3）CF=CD=4,GB=BD=6,
在正方形AFHG中，GH=FH
即GB+BH=CF+CH
6+BH=4+CH ①
BH^2+CH^2=BC^2=100 ②
联立①②，得CH=8
即正方形边长为8+4=12，即AD=12

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Answer 2

（1）解：连结OB和OC．
∵ OE⊥BC，
∴ BE＝CE．
∵ OE＝1/2 BC，
∴ ∠BOC＝90°，
∴ ∠BAC＝45°．

（2）证明：∵ AD⊥BC，∴ ∠ADB＝∠ADC＝90°．
由折叠可知，AG＝AF＝AD，
∠AGH＝∠AFH＝90°，
∠BAG＝∠BAD，∠CAF＝∠CAD，
∴ ∠BAG＋∠CAF＝∠BAD＋∠CAD＝∠BAC＝45°．
∴ ∠GAF＝∠BAG＋∠CAF＋∠BAC＝90°．
∴ 四边形AFHG是正方形．

（3）解：由（2）得，∠BHC＝90°，GH＝HF＝AD，GB＝BD＝6，CF＝CD＝4．
设AD的长为x，则 BH＝GH－GB＝x－6，CH＝HF－CF＝x－4．
在Rt△BCH中，BH2＋CH2＝BC2，（BH2 这种2是平方的意思。）
∴ （x－6）2＋（x－4）2＝102．
解得，x1=12，x2＝－2（不合题意，舍去）．
∴ AD＝12．
可以不？

Answer 3

ad=12