Question

求助高中“基本不等式”题： 已知圆C:x的平方+y的平方+bx+ay-3=0(a,b为正实数)上任意一点关于直线L:

已知圆C:x的平方+y的平方+bx+ay-3=0(a,b为正实数)上任意一点关于直线L:x+y+2=0的对称点都在园C上，则1/a+3/b的最小值为___.
希望知道答案和解题过程，谢谢大家!

Answer 1

x的平方+y的平方+bx+ay-3=0(a,b为正实数)上任意一点关于直线L:x+y+2=0的对称点都在园C上
说明直线L必通过圆心
由圆的方程知，圆心坐标为(-b/2, -a/2)
所以(-b/2)+(-a/2)+2=0 a+b=4
1/a+3/b=(1/4)*4(1/a+3/b)=(1/4)(a+b)(1/a+3/b)
=(1/4)(4+b/a+3a/b)
≥(1/4)[4+2√(b/a)(3a/b)]
=(1/4)(4+2√3)
=1+√3/2
则1/a+3/b的最小值为1+√3/2

Answer 2

(-b/2,-a/2)在直线x+y+2=0上
所以 a+b=4
1/a+3/b=(b+3a)/ab=(4+2a)/ab
=(4+2a)/(4a-a^2)
令t=4+2a a=(t-4)/2
t/{2t-8-(t-4)^2/4}=4t/{8t-32-t^2+8t-16}
=4t/(-t^2+16t-48)
=4/{-t+16-48/t}
当 t=48/t 即t=4乘以根号3 {满足a=(t-4)/2>0}时 有最小值
4/(16-8根号3)=1-根号3/2