高数，第13题求过程？？？大神？
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令u=1/t，则lim(t->+∞) t^2*[e^(1/t)-1]-t
=lim(u->0+) (e^u-1-u)/u^2
=lim(u->0+) (e^u-1)/2u
=lim(u->0+) u/2u
=1/2
>0
所以当x->+∞时，分子∫(1,x) {t^2*[e^(1/t)-1]-t}dt->+∞，分母x^2*ln(1+1/x)~x^2*(1/x)=x->+∞
根据洛必达法则
原式=lim(x->+∞) {∫(1,x) {t^2*[e^(1/t)-1]-t}dt}/x
=lim(x->+∞) {x^2*[e^(1/x)-1]-x}
=1/2
=lim(u->0+) (e^u-1-u)/u^2
=lim(u->0+) (e^u-1)/2u
=lim(u->0+) u/2u
=1/2
>0
所以当x->+∞时，分子∫(1,x) {t^2*[e^(1/t)-1]-t}dt->+∞，分母x^2*ln(1+1/x)~x^2*(1/x)=x->+∞
根据洛必达法则
原式=lim(x->+∞) {∫(1,x) {t^2*[e^(1/t)-1]-t}dt}/x
=lim(x->+∞) {x^2*[e^(1/x)-1]-x}
=1/2
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