Question

请教这道题极限怎么计算？ 看着是用夹逼，但是不会放缩

Answer 1

这题用夹逼准则算出来是不精确的。
1/(n+1)+1/(n+2)+.....+1/2n ＝1/n×[1/(1+1/n)+1/(1+2/n)+...+1/(1+n/n)] 把区间[0，1]n等分，每个小区间[i/n，(i+1)/n]上取右端点(i＝0，1，...，n－1)时，函数f(x)＝1/(1+x)的积分和就是上面式子。
lim(n→∞) 1/(n + 1) + 1/(n + 2) + ...+ 1/(n + n)
= lim(n→∞) Σ_(k=1→n) 1/(n + k)
= lim(n→∞) Σ_(k=1→n) 1/(1 + k/n) · 1/n
= ∫(0→1) dx/(1 + x)
= ln(1 + x) |(0→1)
= ln(2) - ln(1)
= ln(2)
如果用夹逼准则，
因为1/(n+1)＞(1/n+2)＞……＞(1/n+n)
所以可以看出来
1/n+n之前的每一项都比它大
所以1/(n+1)+1/(n+2)+……+1/(n+n)≥n/(n+n)
n/(n+n)=1/2
现在再反过来求
因为1/(n+n)＜……＜1/(n+2)＜1/(n+1)
所以可以看出来
1/(n+1)之后的每一项都比它小
所以1/(n+1)+1/(n+2)+……+1/(n+n)≤n/(n+1)=1
左右不相等，极限只是个范围。