Question

已知函数f(x)=(ax2+bx)/(x+1),若a=1,b=-3，x＞-1，求函数f(x)的最小值,若a=0,b＞0,解关于x不等式f(x)＞1

求解，三Q。

Answer 1

（1）若a=1,b=-3，x＞-1
f(x)=(x²-3x)/(x+1)=[(x+1)²-5x-1]/(x+1)=[(x+1)²-5(x+1)+4]/(x+1)=(x+1)-5+4/(x+1)
f(x)=(x+1)+4/(x+1)-5 因为，x>-1，所以x+1>0，
所以，根据均值不等式可得，f(x)=(x+1)+4/(x+1)-5≧2)=2√[(x+1)+4/(x+1)]- 5=4-5=-1
且，当且仅当 (x+1)=4/(x+1)成立时，等号成立，解得：x=1(x=-3舍掉，因为已知x>-1)
所以，当x>-1时，f(x)的最小值为-1，当且仅当x=1时，取得该最小值。
（2）若a=0,b＞0,解关于x不等式f(x)＞1
f(x)=bx/(x+1)>1
①当x>-1时，上不等式等价于bx>x+1，即(b-1)x>1，
所以当b>1时，解得x>1/(b-1)，又此时1/(b-1)>0>-1，所以为合理解；
当0<b<1时，解得x<1/(b-1)，又x>-1，则得：1/(b-1)>x>-1.
此时仍要满足1/(b-1)>-1成立，否则上不等式为空集，解得b<0，而0<b<1，故无解
注意：本段是以x>-1为前提讨论，方有后面的结果的，因此解必须在此范围内(x>-1)方有效。
这就是为什么解出每一部分的解后，总要比较是否恒大于-1。
本部分结论：b>1时，x>1/(b-1)
②当x<-1时，上不等式等价于bx<x+1，即(b-1)x<1，
若b>1，则x<1/(b-1)，又因为x<-1<0<1/(b-1)，所以得b>1时，解为：x<-1；
若0<b<1，则x>1/(b-1)，又x<-1，则须有1/(b-1)<-1，1/(b-1)<x<-1的解集才不为空，
解得b>0，又假设0<b<1，故此时符合，解为：1/(b-1)<x<-1。
本部分结论：b>1时，x<-1；0<b<1，1/(b-1)<x<-1。

综上（2）所述：b>1时，x>1/(b-1)或x<-1；0<b<1时，1/(b-1)<x<-1。

望能帮助读者释疑。
PS：第二小问题的证明，较复杂，望读者细心领会理解。

Answer 2

f(x)在x>3,[-1，0]的区间内单调递增，在x<-1,[0,3]的区间内单调递减，然后把0，-1，3这几个点算出来比较一下就知道了