Question

求二阶线性齐次偏微分方程y²Uxx-x²Uyy＝0（xy≠0）的通解 我求出来是U（x

求二阶线性齐次偏微分方程y²Uxx-x²Uyy＝0（xy≠0）的通解 我求出来是U（x,y）＝F（x²–y²）＋G(x²＋y²)但是答案是U(x,y)＝φ(x,y)＋√xy ψ(y/x),不知道哪里算错了?还有将一般的偏微分方程化为标准型，如果判别式等于0，化简后的方程是不是有无数种形式，因为在构造线性无关的特征线时是任意的? 着急！！！谢谢了！

Answer 1

解：方程两边同除以x(x>0)，得 y'-(y/x)-√[(y/x)²-1]=0.............(1)
令y/x=u，则y=ux..............(2)；
取导数得 y'=u'x+u.............(3)；
将(2)(3)代入(1)式得: u'x+u-u-√(u²-1)=0
化简得 u'x-√(u²-1)=0
分离变量得 du/√(u²-1)=dx/x
积分之得 ln[u+√(u²-1)]=lnx+lnc=lncx
故得u+√(u²-1)=cx
√(u²-1)=cx-u
平方去根号得 u²-1=c²x²-2cux+u²
化简得u=(c²x²+1)/(2cx)=(cx/2)+1/(2cx)
代入(2)式即得原方程的通解为：
y=(cx²)/2+1/(2c) (x>0)