Question

如图，在RT△ABC中，∠BAC=90°，AD垂直BC于点D，BE平分∠ABC交AD于点F，交AC于点E，若EG⊥BC于点G

连接FG，求证AFGE是菱形

Answer 1

∠AFE=∠ABE+∠BAD=1/2∠ABC+∠BAD；∠AEB=∠C+EBC=∠C+1/2∠ABC；∠BAD=∠C
∴∠AFE=∠AEB=>AF=AE---(1)
BE平分∠ABC，EA⊥AB，EG⊥AB=>AE=EG---(2) ; (1)(2)=>AF=EG----(3)
AD⊥BC,EG⊥BC=>AF//EG----(4)； （3）（4）=>平行四边形AFGE---(5)
(2)(5)=>四边形AFGE是菱形

Answer 2

由角BAC=90度，EG垂直BC BE平分角ABC
EA=EG （角平分线上的点到角两边的距离相等）角GEF=AEF
由三角形BAF全等BFG 得AF=FG
由EG//AD得GEF=EFA
所以角AEF=EFA 所以AE=AF
所以AE=AF=EG=GF
四边形AFGE是菱形

Answer 3

∠AFE=∠ABE+∠BAD=1/2∠ABC+∠BAD；∠AEB=∠C+EBC=∠C+1/2∠ABC；∠BAD=∠C
∴∠AFE=∠AEB=>AF=AE---(1)
BE平分∠ABC，EA⊥AB，EG⊥AB=>AE=EG---(2) ; (1)(2)=>AF=EG----(3)
AD⊥BC,EG⊥BC=>AF//EG----(4)； （3）（4）=>平行四边形AFGE---(5)
(2)(5)=>四边形AFGE是菱形