Question

三角形ABC的三边分别为a，b，c，满足：a分之b加b分之c加c分之a等于3，判断这个三角形的形状。

Answer 1

b/a+c/b+a/c=3 通分得 b^2c+c^2a+a^2b=3abc
两边同时乘以2得 2b^2c+2c^2a+2a^2b=6abc
整理有 2ba(b-a)+2ca(c-b)+2ab(a-c)=0
有因为 abc 为三角行的三边所以abc均>0
所以有b-a=0 c-b=0 a-c=0
所以
为等边三角形

追问

这位高人，请问
两边同时乘以2得 2b^2c+2c^2a+2a^2b=6abc
整理有 2ba(b-a)+2ca(c-b)+2ab(a-c)=0
这两个式子是怎么变换而来的呢？
请赐教。。谢谢

追答

2b^2c+2c^2a+2a^2b=6abc
2b^2c+2c^2a+2a^2b-6abc =0
2b^2c+2c^2a+2a^2b -2abc -2abc -2abc =0
2b^2c-2abc +2c^2a -2abc+2a^2b -2abc =0
(2b^2c-2abc） +（2c^2a -2abc）+（2a^2b -2abc） =0
2bc(b-a） +2ac（c -b）+2ab（a -c） =0

Answer 2

b/a+c/b+a/c=3
即 ( b^2c+c^2a+a^2b)/abc=3
即 b^2c+c^2a+a^2b=3abc
因为只有: a^3+b^3+c^3 >=3abc 当a=b=c 才有a^3+b^3+c^3=3abc
对照上面式子
只有当a=b=c才有 b^2c+c^2a+a^2b=3abc 成立
所以
a=b=c
三角形是等边三角形

Answer 3

b/a+c/b+a/c=3
很明显，a=b=c，此三角形是等边三角形