Question

已知函数f(x)=(1/3)x^3-[(a+1)/2]x^2+bx+a ,(a,b属于R) 其导函数f'(x)的图像过原点

已知函数f(x)=(1/3)x^3-[(a+1)/2]x^2+bx+a ,(a,b属于R) 其导函数f'(x)的图像过原点。
1）当a=1时，求函数f(x)的图像在X=3处的切线方程。
2）若存在x<0，使得f'(x)=-9，求a的最大值。
3）当a>0时，确定函数f(x)d的零点个数。

写出具体过程，谢谢了。。。

Answer 1

第一步：求b
已知f(x)，所以可求f'(x)，即f'(x)=X^2-(a+1)X+b
又由题意可知（0,0）满足f'(x)=X^2-(a+1)X+b ，所以将点（0，0）代入f'(x)=X^2-(a+1)X+b可求 得：b=0
1）因为a=1，b=0 所以f'(x)=X^2-(a+1)X+b=X^2-2X
当X=3时， K=f'(3)=3（用K表示函数f(x)在X=3处的斜率）
因为f(x)=(1/3)x^3-x^2+1 ，所以f(3)=1
所以可 设函数f(x)的图像在X=3处的切线方程为y=3x+B，（关键就是求B了哦）
由题意可知点（3，1）在直线y=3x+B上，所以代入点，可求得B= -8
所以函数f(x)的图像在X=3处的切线方程为y=3x-8

2）由题意可知X^2-(a+1)X=-9 ，即 存在方程X^2-(a+1)X +9=0
问题2就变成了：如果方程X^2-(a+1)X +9=0在X<0处有解，求a的最大值
这个就应该是高二的知识了，你个应该自己思考啊！（我大学毕业都2年了，这个一元二次方程根的讨论的问题我有点遗忘了，你再请教其他人吧！）