Question

一道数学竞赛题，高手来

2<1+1/√(2^3)+1/√(3^3)+1/√(4^3)+...+1/√(n^3)<3
求证当n≥23时，该不等式成立

Answer 1

考虑到2√n³=n√n+n√n＞(n-1)√n+n√(n-1)，所以1/√n³＜2/[(n-1)√n+n√(n-1)]=2/{[√(n-1)+√n]√[n(n-1)]}=2[√n-√(n-1)]/√[n(n-1)]=2[1/√(n-1)-1/√n]
1+1/√2³+1/√3³+1/√4³+...+1/√n³＜1+2[1/1-1/√2+1/√2-1/√3+...+1/√(n-1)-1/√n]=1+2(1-1/√n)＜3，原不等式右边得证
又2√n³=n√n+n√n＜(n+1)√n+n√(n+1)，所以1/√n³＞2/[(n+1)√n+n√(n+1)]=2/{[√(n+1)+√n]√[n(n+1)]}=2[√(n+1)-√n]/√[n(n+1)]=2[1/√n-1/√(n+1)]
1+1/√2³+1/√3³+1/√4³+...+1/√n³＞1+2[1/√2-1/√3+...+1/√n-1/√(n+1)]=1+2[1/√2-1/√(n+1)]=1+√2-2/√(n+1)≥1+√2-2/√24=1+√2-√6/6＞2，原不等式右边得证
顺便说一下，这题裂项的思路来自于定积分：令f(x)=1/√x³=x^(-3/2)，则显然f(x)为减函数，其原函数F(x)=-2x^(-1/2)，观察图像易知F(n+1)-F(n)＜f(n)[(n+1)-n]=f(n)=f(n)[n-(n-1)]＜F(n)-F(n-1)