Question

问题：已知直线y=-1/2x+1,交坐标轴于A

已知直线y=-1/2x+1,交坐标轴于A，B两点，以直线AB为边向上作正形ABCD，过点A，D，C的抛物线与直线另一交点为E。
（1）请直接写出点C、D的坐标
（2）求抛物线的解析式
（3）若正方形以每秒√5个单位长度的速度沿射线AB下滑，直至顶点D落在X轴上时停止，设正方形在x轴下方部分面积为S，求S关于滑行时产t的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围
（4）在（3）的条件下，抛物线与正方形一起平移，同时D停止，求抛物线上C，E两点间的抛物线弧所扫过的面积
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Answer 1

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解：（1）C（3，2）D（1，3）；
（2）设抛物线为y=ax2+bx+c，抛物线过（0，1）（3，2）（1，3），
{c=1a+b+c=39a+3b+c=2
解得 {a=-56b=176c=1，
∴y=- 56x2+ 176x+1；
（3）①当点A运动到点F时，t=1，
当0＜t≤1时，如图1，
∵∠OFA=∠GFB′，
tan∠OFA= OAOF=12，
∴tan∠GFB′= GB′FB′=GB′5t=12，
∴GB′= 52t
∴S△FB′G= 12FB′×GB′
= 12× 5t× 5t2= 54t2；
②当点C运动到x轴上时，t=2，
当1＜t≤2时，如图2，
A′B′=AB= 22+12=5，
∴A′F= 5t- 5，
∴A′G= 5t-52，
∵B′H= 5t2，
∴S梯形A′B′HG= 12（A′G+B′H）×A′B′
= 12(5t-52+5t2)×5= 52t- 54；
③当点D运动到x轴上时，t=3，
当2＜t≤3时，如图3，
∵A′G= 5t-52，
∴GD′= 5-5t-52=35-5t2，
∵S△AOF= 12×1×2=1，OA=1，△AOF∽△GD′H
∴ S△GD′HS△AOF=(GD′OA)2，
∴ S△GD′H=(35-5t2)2，
∴S五边形GA′B′C′H=（ 5）2-（ 35-5t2)2
=- 54t2+ 152t- 254；
（4）∵t=3，BB′=AA′=3 5，
∴S阴影=S矩形BB′C′C=S矩形AA′D′D
=AD×AA′= 5×3 5=15．