Question

线性代数相似对角化例题求解

已知A={1 -1 1
2 -2 2
-1 1 -1} 问A能否相似对角化 若能，将A对角化。 求此题详细过程和讲解 谢谢

Answer 1

|A-λE| =
1-λ -1 1
2 -2-λ 2
-1 1 -1-λ

c1+c2, c3+c2
-λ -1 0
-λ -2-λ -λ
0 1 -λ

此时用对角线法则可得
|A-λE| = -λ^3 - 2λ^2 = -λ^2(λ+2).
所以A的特征值为: λ1 = λ2 = 0, λ3 = -2.

当 λ1 = λ2 = 0 时
AX = 0 的基础解系为: a1=(1,1,0)', a2=(-1,0,1)'.
(A+2E)X=0 的基础解系为: a3=(1,2,-1)'.
至此知A可对角化.
令P = (a1,a2,a3), 则
P^-1AP = diag(0,0,2).

满意请采纳^_^

Answer 2

用标准方法算呗~求特征多项式，再对每个特征根解相应的线性方程组。
|tI-A|=|{t-1,1,-1; -2,t+2,-2; 1,-1,t+1|=t²(t-2). 一重特征根2，二重特征根0.
解方程AX=0, 得到两个线性无关解(1,1,0)'和(0,1,1)'. 说明二重特征根0确定的特征子空间维数=2.
故A可以对角化，标准型为diag{0,0,2}.

To: "halt_w “，不可逆的方阵也可以对角化的，无非是有特征根为0。不要误导LZ哦~

Answer 3

不能。把第一行乘以-2加到第二行，得到第二行为0.再把第一行加到第三行得到第三行为0

Answer 4

|入E－A|＝[入－1 1 －1；－2 入＋2 －2；1 －1 入＋1]＝入^2*(入+2).特征值0(两重）；－2.将零带入上面的入E－A矩阵，求得基础解系：（1 0 －1）'；（0 1 1）'。再将－2带入，得（1 2 －1）'。故可将A相似对角化。令X＝[1 0 －1；0 1 1；1 2 －1],则与A相似的矩阵为X'AX＝[0 0 0；0 0 0；0 0 －2]。