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2008年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学（必修+选修Ⅰ）
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．第I卷1至2页，第II卷3至9页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷
考生注意：
1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、填写清楚 ，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．
3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
参考公式：
如果事件 互斥，那么 球的表面积公式
如果事件 相互独立，那么 其中 表示球的半径
球的体积公式
如果事件 在一次试验中发生的概率是 ，那么
次独立重复试验中事件 恰好发生 次的概率 其中 表示球的半径
一、选择题
1．函数 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
1D 解析：依题意， 解得， 0≤x≤1，所以函数 的定义域为 ，选择D;
点评：本题考查了不等式的解法，函数定义域的求法以及交集、并集等集合运算，是基础题目。
2．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程 看作时间 的函数，其图像可能是（ ）
2A 解析：（法一）由于汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，所以，从路程与时间的图像看，其图像的切线斜率由逐渐增大、定值、逐渐减小，易知，A正确；
（法二）根据汽车加速行驶 、匀速行驶s=vt、减速行驶 并结合图像易知选择A；
点评：本题考查了学生的识图能力与导数的概念及几何意义。
3． 的展开式中 的系数为（ ）
A．10 B．5 C． D．1
3 C 解析：依题意，设第r+1为 项，则 ，∵ ，所以展开式中 的系数为 ，选择C;
4．曲线 在点 处的切线的倾斜角为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．120°
4 B 解析： 曲线 在点 处的切线的倾斜角 ，选择B；
5．在 中， ， ．若点 满足 ，则 =（ ）
A． B． C． D．
5 A 解析：如图，∵ ， ，∴点 满足 ， ，选择A；
6． 是（ ）
A．最小正周期为 的偶函数 B．最小正周期为 的奇函数
C．最小正周期为 的偶函数 D．最小正周期为 的奇函数
6 D 解析： ，所以，这个函数是最小正周期为 的奇函数，选择D；
7．已知等比数列 满足 ，则 （ ）
A．64 B．81 C．128 D．243
7A 解析：设等比数列 的公比为q，则q= =2，所以 ， ，选择A；
8．若函数 的图象与函数 的图象关于直线 对称，则 （ ）
A． B． C． D．
8 A 解析：函数 的图象与函数 的图象关于直线 对称，所以函数 是函数 的反函数，所以由 得 ，∴ ， ，选择A；
9．为得到函数 的图象，只需将函数 的图像（ ）
A．向左平移 个长度单位 B．向右平移 个长度单位
C．向左平移 个长度单位 D．向右平移 个长度单位
9 C 解析：依题意， ，所以只需将函数 向左平移 个长度单位，得到函数 的图象，选择C;
10．若直线 与圆 有公共点，则（ ）
A． B． C． D．
10.D解析：由题意知，直线 与圆 有交点，则 .即 ，选择D；
11．已知三棱柱 的侧棱与底面边长都相等， 在底面 内的射影为 的中心，则 与底面 所成角的正弦值等于（ ）
A． B． C． D．
11.B解析：由题意知三棱锥 为正四面体，设棱长为 ，则 ，棱柱的高 （即点 到底面 的距离），故 与底面 所成角的正弦值为 .
另解：设 为空间向量的一组基底， 的两两间的夹角为
长度均为 ，平面 的法向量为 ,
，则 与底面 所成角的正弦值为 .
12．将1，2，3填入 的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，下面是一种填法，则不同的填写方法共有（ ）
A．6种 B．12种 C．24种 D．48种
12.B. 解析：先排第一行，有 =6种不同方法，然后再排其他两行，每种对应2中不同排法，共有6×2=12种不同排法，选择B;
2008年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学（必修 选修Ⅰ）
第Ⅱ卷
注意事项：
1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．
2．第Ⅱ卷共7页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．
3．本卷共10小题，共90分．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．
（注意：在试题卷上作答无效）
13．若 满足约束条件 则 的最大值为 ．
13. 9．解析：如图，作出可行域，作出直线 ，将 平移至过点 处时，函数 有最大值9.
14．已知抛物线 的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为 ．
14. 2. 解析：由抛物线 的焦点坐标为 ，又焦点为坐标原点得，∴ ，则 ，与坐标轴的交点为 ，则以这三点围成的三角形的面积为 。
15．在 中， ， ．若以 为焦点的椭圆经过点 ，则该椭圆的离心率 ．
15 解析：如图，不妨设|AC|=3，|AB|=4,则|BC|=5，所以2a=8,2c=4,e= .
16．已知菱形 中， ， ，沿对角线 将 折起，使二面角 为 ，则点 到 所在平面的距离等于 ．
16. 解析：如图，依题意，易知，∠AOC是二面角 的平面角，∠AOC= ，又AO=1，过A作AH⊥CO，交CO于H，则AH⊥平面BCD，在RT AOH中，AH=AOsin600= 。
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
（注意：在试题卷上作答无效）
设 的内角 所对的边长分别为 ，且 ， ．
（Ⅰ）求边长 ；
（Ⅱ）若 的面积 ，求 的周长 ．
17.解析：（Ⅰ）在 中，由 ， 得 ，据正弦定理得 ，∴ ，由于B是三角形内角，所以B ，据平方关系式得， cosB= ，∴sinB= ，又 ，所以a=5；
（2）由（1）知cosB= ，∴sinB= ，又 ，所以c=5；由余弦定理得
， ，∴ 。
18．（本小题满分12分）
（注意：在试题卷上作答无效）
四棱锥 中，底面 为矩形，侧面 底面 ， ， ， ．
（Ⅰ）证明： ；
（Ⅱ）设侧面 为等边三角形，求二面角 的大小．
18．解：（1）取 中点 ，连接 交 于点 ，
， ，
又面 面 ， 面 ，
．
，
， ，即 ，
面 ， ．
（2）在面 内过 点作 的垂线，垂足为 ． ， ， 面 ， ，则 即为所求二面角的平面角．
， ， ，
，则 ，
，即二面角 的大小 ．
19．（本小题满分12分）
（注意：在试题卷上作答无效）
在数列 中， ， ．
（Ⅰ）设 ．证明：数列 是等差数列；
（Ⅱ）求数列 的前 项和 ．
解析：（1）∵在数列 中， ， ， ，∴ ，所以数列数列 是等差数列是等差数列，且 。
（2）由（1）知， ，又 ，所以 ，则 ，2 ，两式相减得
。
20．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）
已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性的即没患病．下面是两种化验方法：
方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．
方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验．
求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率．
21．（本小题满分12分）
（注意：在试题卷上作答无效）
已知函数 ， ．
（Ⅰ）讨论函数 的单调区间；
（Ⅱ）设函数 在区间 内是减函数，求 的取值范围．
19. 解：（1） 求导：
当 时， ， ， 在 上递增；
当 ，由 求得两根为
即 在 递增， 递减，
递增；
（2）（法一）∵函数 在区间 内是减函数， 递减，∴ ，且 ，解得： 。
22．（本小题满分12分）
（注意：在试题卷上作答无效）
双曲线的中心为原点 ，焦点在 轴上，两条渐近线分别为 ，经过右焦点 垂直于 的直线分别交 于 两点．已知 成等差数列，且 与 同向．
（Ⅰ）求双曲线的离心率；
（Ⅱ）设 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．
21. 解：（Ⅰ）（法一）设 ， ，
由勾股定理可得： ，得： ， ， ，由倍角公式 ，解得 ,则离心率 ．
（法二）
（Ⅱ）过 直线方程为 ,与双曲线方程 联立
将 ， 代入，化简有
将数值代入，有 ,解得 ，所以，所求双曲线方程为
文科数学（必修+选修Ⅰ）
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．第I卷1至2页，第II卷3至9页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷
考生注意：
1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、填写清楚 ，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．
3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
参考公式：
如果事件 互斥，那么 球的表面积公式
如果事件 相互独立，那么 其中 表示球的半径
球的体积公式
如果事件 在一次试验中发生的概率是 ，那么
次独立重复试验中事件 恰好发生 次的概率 其中 表示球的半径
一、选择题
1．函数 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
1D 解析：依题意， 解得， 0≤x≤1，所以函数 的定义域为 ，选择D;
点评：本题考查了不等式的解法，函数定义域的求法以及交集、并集等集合运算，是基础题目。
2．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程 看作时间 的函数，其图像可能是（ ）
2A 解析：（法一）由于汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，所以，从路程与时间的图像看，其图像的切线斜率由逐渐增大、定值、逐渐减小，易知，A正确；
（法二）根据汽车加速行驶 、匀速行驶s=vt、减速行驶 并结合图像易知选择A；
点评：本题考查了学生的识图能力与导数的概念及几何意义。
3． 的展开式中 的系数为（ ）
A．10 B．5 C． D．1
3 C 解析：依题意，设第r+1为 项，则 ，∵ ，所以展开式中 的系数为 ，选择C;
4．曲线 在点 处的切线的倾斜角为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．120°
4 B 解析： 曲线 在点 处的切线的倾斜角 ，选择B；
5．在 中， ， ．若点 满足 ，则 =（ ）
A． B． C． D．
5 A 解析：如图，∵ ， ，∴点 满足 ， ，选择A；
6． 是（ ）
A．最小正周期为 的偶函数 B．最小正周期为 的奇函数
C．最小正周期为 的偶函数 D．最小正周期为 的奇函数
6 D 解析： ，所以，这个函数是最小正周期为 的奇函数，选择D；
7．已知等比数列 满足 ，则 （ ）
A．64 B．81 C．128 D．243
7A 解析：设等比数列 的公比为q，则q= =2，所以 ， ，选择A；
8．若函数 的图象与函数 的图象关于直线 对称，则 （ ）
A． B． C． D．
8 A 解析：函数 的图象与函数 的图象关于直线 对称，所以函数 是函数 的反函数，所以由 得 ，∴ ， ，选择A；
9．为得到函数 的图象，只需将函数 的图像（ ）
A．向左平移 个长度单位 B．向右平移 个长度单位
C．向左平移 个长度单位 D．向右平移 个长度单位
9 C 解析：依题意， ，所以只需将函数 向左平移 个长度单位，得到函数 的图象，选择C;
10．若直线 与圆 有公共点，则（ ）
A． B． C． D．
10.D解析：由题意知，直线 与圆 有交点，则 .即 ，选择D；
11．已知三棱柱 的侧棱与底面边长都相等， 在底面 内的射影为 的中心，则 与底面 所成角的正弦值等于（ ）
A． B． C． D．
11.B解析：由题意知三棱锥 为正四面体，设棱长为 ，则 ，棱柱的高 （即点 到底面 的距离），故 与底面 所成角的正弦值为 .
另解：设 为空间向量的一组基底， 的两两间的夹角为
长度均为 ，平面 的法向量为 ,
，则 与底面 所成角的正弦值为 .
12．将1，2，3填入 的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，下面是一种填法，则不同的填写方法共有（ ）
A．6种 B．12种 C．24种 D．48种
12.B. 解析：先排第一行，有 =6种不同方法，然后再排其他两行，每种对应2中不同排法，共有6×2=12种不同排法，选择B;
2008年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学（必修 选修Ⅰ）
第Ⅱ卷
注意事项：
1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．
2．第Ⅱ卷共7页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．
3．本卷共10小题，共90分．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．
（注意：在试题卷上作答无效）
13．若 满足约束条件 则 的最大值为 ．
13. 9．解析：如图，作出可行域，作出直线 ，将 平移至过点 处时，函数 有最大值9.
14．已知抛物线 的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为 ．
14. 2. 解析：由抛物线 的焦点坐标为 ，又焦点为坐标原点得，∴ ，则 ，与坐标轴的交点为 ，则以这三点围成的三角形的面积为 。
15．在 中， ， ．若以 为焦点的椭圆经过点 ，则该椭圆的离心率 ．
15 解析：如图，不妨设|AC|=3，|AB|=4,则|BC|=5，所以2a=8,2c=4,e= .
16．已知菱形 中， ， ，沿对角线 将 折起，使二面角 为 ，则点 到 所在平面的距离等于 ．
16. 解析：如图，依题意，易知，∠AOC是二面角 的平面角，∠AOC= ，又AO=1，过A作AH⊥CO，交CO于H，则AH⊥平面BCD，在RT AOH中，AH=AOsin600= 。
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
（注意：在试题卷上作答无效）
设 的内角 所对的边长分别为 ，且 ， ．
（Ⅰ）求边长 ；
（Ⅱ）若 的面积 ，求 的周长 ．
17.解析：（Ⅰ）在 中，由 ， 得 ，据正弦定理得 ，∴ ，由于B是三角形内角，所以B ，据平方关系式得， cosB= ，∴sinB= ，又 ，所以a=5；
（2）由（1）知cosB= ，∴sinB= ，又 ，所以c=5；由余弦定理得
， ，∴ 。
18．（本小题满分12分）
（注意：在试题卷上作答无效）
四棱锥 中，底面 为矩形，侧面 底面 ， ， ， ．
（Ⅰ）证明： ；
（Ⅱ）设侧面 为等边三角形，求二面角 的大小．
18．解：（1）取 中点 ，连接 交 于点 ，
， ，
又面 面 ， 面 ，
．
，
， ，即 ，
面 ， ．
（2）在面 内过 点作 的垂线，垂足为 ． ， ， 面 ， ，则 即为所求二面角的平面角．
， ， ，
，则 ，
，即二面角 的大小 ．
19．（本小题满分12分）
（注意：在试题卷上作答无效）
在数列 中， ， ．
（Ⅰ）设 ．证明：数列 是等差数列；
（Ⅱ）求数列 的前 项和 ．
解析：（1）∵在数列 中， ， ， ，∴ ，所以数列数列 是等差数列是等差数列，且 。
（2）由（1）知， ，又 ，所以 ，则 ，2 ，两式相减得
。
20．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）
已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性的即没患病．下面是两种化验方法：
方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．
方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验．
求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率．
21．（本小题满分12分）
（注意：在试题卷上作答无效）
已知函数 ， ．
（Ⅰ）讨论函数 的单调区间；
（Ⅱ）设函数 在区间 内是减函数，求 的取值范围．
19. 解：（1） 求导：
当 时， ， ， 在 上递增；
当 ，由 求得两根为
即 在 递增， 递减，
递增；
（2）（法一）∵函数 在区间 内是减函数， 递减，∴ ，且 ，解得： 。
22．（本小题满分12分）
（注意：在试题卷上作答无效）
双曲线的中心为原点 ，焦点在 轴上，两条渐近线分别为 ，经过右焦点 垂直于 的直线分别交 于 两点．已知 成等差数列，且 与 同向．
（Ⅰ）求双曲线的离心率；
（Ⅱ）设 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．
21. 解：（Ⅰ）（法一）设 ， ，
由勾股定理可得： ，得： ， ， ，由倍角公式 ，解得 ,则离心率 ．
（法二）
（Ⅱ）过 直线方程为 ,与双曲线方程 联立
将 ， 代入，化简有
将数值代入，有 ,解得 ，所以，所求双曲线方程为
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