Question

一道初中数学题！！！！急，拜托！！！好的追加分

如图，将一张矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C的对应点为C'，再将所折得的图形沿EF折叠，使得点D和点A重合。若AB=3，BC=4，则折痕EF的长为?用两种方法解！！

Answer 1

∵AB=3，BC=4
∴BD=√(AB^2+BC^2)=5 DE=5/2
∵EFIIAB ∠CDE=∠FDE
∴∠FED=∠CDE=∠FDE
∴∠DFE=180°-2∠BDC
∴sin∠DFE=sin2∠BDC=2sin∠BDCcos∠BDC=2*(4/5)(3/5)=24/25
∴△EFD是等腰三角形
∴EF=DF
∵由正弦定理EF/sin∠FDE=DE/sin∠DFE
∴EF=(5/2)*(4/5)/(24/25)=25/12 (此为方法一)
∵∠FDE=∠EDC=∠DCE=∠DEF
∴△DEF∽△DCE
∴EF/DE=DE/CD
∴EF=DE^2/CD=(5/2)^2/3=25/12(此为方法二)

Answer 2

解：由勾股定理知BD=5，因为D与A重合，则BE=AE，BF=AF，设AD与EF交于O点，则OA=OD，所以EF为AD的垂直平分线，故EF平行AB，又O为中点，所以E为BD的中点，所以OE为中位线，即OE=1/2AB=3/2,下面只需计算出OF就行：延长DC'交AB的延长线于G，由AAS定理可证三角形GBC'相似于三角形GDA，所以GA=GC'=x,GD=GC'+C'D=x+3,在直角三角形GAD中，由勾股定理知：x^2+4^2=(x+3)^2,这样解得x，即知道了GA，由OF为三角形DGA的中位线，故OF＝1/2GA=1/2x ，则EF=OE+OF=3/2+1/2x

具体运算很简单，相信你能计算出来，有问题可追问，ok！！！！！！！！

Answer 3

由勾股定理知BD=5，因为D与A重合，则BE=AE，BF=AF，设AD与EF交于O点，则OA=OD，所以EF为AD的垂直平分线，故EF平行AB，又O为中点，所以E为BD的中点，所以OE为中位线，即OE=1/2AB=3/2,下面只需计算出OF就行：延长DC'交AB的延长线于G，由AAS定理可证三角形GBC'相似于三角形GDA，所以GA=GC'=x,GD=GC'+C'D=x+3,在直角三角形GAD中，由勾股定理知∵AB=3，BC=4
∴BD=√(AB^2+BC^2)=5 DE=5/2
∵EFIIAB ∠CDE=∠FDE
∴∠FED=∠CDE=∠FDE
∴∠DFE=180°-2∠BDC
∴sin∠DFE=sin2∠BDC=2sin∠BDCcos∠BDC=2*(4/5)(3/5)=24/25
∴△EFD是等腰三角形
∴EF=DF
∵由正弦定理EF/sin∠FDE=DE/sin∠DFE
∴EF=(5/2)*(4/5)/(24/25)=25/12 (此为方法一)
∵∠FDE=∠EDC=∠DCE=∠DEF
∴△DEF∽△DCE
∴EF/DE=DE/CD
∴EF=DE^2/CD=(5/2)^2/3=25/12(此为方法二)