Question

若函数f(x)满足对区间[a,b]上任意的x1,x2都有|f(x1)-f(x2)|<L|x1-x2|其中常数L满足0<L<1,则称f(x)为区间

则称f(x)为区间[a,b]上的L函数。
(1)指出下列函数哪些是L函数（不需要说明理由）
f(x)=x^2+1,x∈[-1,1] g(x)=|x|,x∈[-1,1] h(x)=√(1+x^2)|,x∈[-1,1]
(2)若f(x)是[-1,1]上的L函数,记a(n+1)=f(an),Tn=∑(k=1->n)|a(k+1)-ak|,证明Tn<2/(1-L)
(3)若f(x)是[-1,1]上的L函数,且f(-1)=f(1),证明:|f(x1)-f(x2)|<1对任意x1、x2∈[-1,1] 都成立
【说明：题目和问题里，x1,x2,a(n+1),an,Tn,a(k+1),ak中1,2,n+1,n,n,k+1,k都是下标，∑(k=1->n))|a(k+1)-ak|是表示k从1到n对)|a(k+1)-ak|求和】

Answer 1

题目小有问题可能是少了x1≠x2. 请LZ确认一下题目。
(1). f,g不是(取x1=0, x2=1即可判断，关键是题目要求L<1, 如果是≤1, 结论就变肯定了). h肯定是。

(2). k≥2时，|a(k+1)-a(k)|=|f(a(k))-f(a(k-1))|≤L|a(k)-a(k-1)|=L|f(a(k-1))-f(a(k-2))|≤L²|a(k-1)-a(k-2)|≤…≤L^k |a2-a1|≤2*L^k. 容易验证此式对k=1也成立。
所以T(n)≤2(1+L+L²+…+L^n)=2(1-L^(n+1))/(1-L)<2/(1-L).

(3). 不妨设x1<x2 (x1=x2显然). 分情况讨论。
若x2-x1≤1, |f(x1)-f(x2)|<L|x2-x1|=L(x2-x1)≤L<1.
若x2-x1>1, 则|f(x1)-f(-1)|<L|x1-(-1)|=L(x1+1) 以及|f(1)-f(x2)|<L|1-x2|=L(1-x2).
两式相加: |f(x1)-f(-1)|+|f(1)-f(x2)|<L(2-(x2-x1))<L.
由于f(-1)=f(1), |f(x1)-f(x2)|=|f(x1)-f(-1)+f(1)-f(x2)|≤|f(x1)-f(-1)|+|f(1)-f(x2)|<L.
综上，结论成立。

Answer 2

有点大问题