Question

若随机事件A在一次试验中发生的概率为P（0<P<1），

若随机事件A在一次试验中发生的概率为P（0<P<1），用随机变量X表示A在一次试验中发生的次数。
（1）求方差D （X）的最大值；
（2）求（2D（X） -1）/E（X）最大值

Answer 1

有题意可得，X服从0-1两点分布：P(X=1)=p=1-P(X=0)，即X~B(1,p)
（1）D(X)=p(1-p) =-(p-1/2)^2+1/4，所以当p=1/2时，D(X)取得最大值1/4
（2）易得E(X)=p，由此可得
(2D(X)-1)/E(X)=2(1-p)-1/p
记g(p)=2(1-p)-1/p，求导得 g'(p)=-2+1/p^2，令g'(p)=0得p=1/2^0.5=2^(0.5)/2，又g''(p)=-2/p^3<0 （0<P<1）， 所以当p=2^(0.5)/2时，得g(p)的最大值2(1-2^0.5)，
故(2D(X)-1)/E(X)的最大值为 2(1-2^0.5)，此时p=2^(0.5)/2.