Question

数学建模题 特急！！！急求帮助！！！星期三之前给我答案，快，拜托了！！！求求了！！！

有一段时间，美国原子能委员会（现为核管理委员会）是这样处理浓缩放射性废物的，委员们将这些废物装入密封性能很好的圆筒中，然后扔到水深91.4米的海里。他们一再保证，圆筒非常坚固，决不会破裂，保证安全。然而许多工程师表示怀疑，认为圆筒在和海底碰撞时有可能发生破裂。
试验证明，圆筒速度达到12.2米/秒时，在碰撞下会发生破裂，已知圆筒装满放射性废料时重量约为239千克，在海水中受的浮力为213.2千克，圆筒所受海水阻力与圆筒下降速度成正比，比例系数为0.119，试用微分方程模型分析圆筒是否可能破裂。

Answer 1

重力G, 浮力F，他们的合力F'=G-F, 摩擦力f=k*v （k=0.119）所以：
F'-kv=ma
因为a=dv/dt, v=ds/dt,所以 a=v*dv/ds,代入上式，整理可以得到：
ds=mv*dv/(F'-kv)
两边取积分：
∫ds = ∫ mv*dv/(F'-kv)
S的积分下限是0，上限是91.4， V的积分下限是0，然后可以求出来到达海底时的速度，比较是否大于12.2 m/s即可预测和海底碰撞时是否破裂。

追问

能再具体点么？我是数学、物理白痴，说实话，我看不懂。

追答

兄弟，已经够具体了啊。你学过微分方程应该就能看明白。
F'-kv=ma
或者写的直白一点：G-F-f=ma ------(1)
表示下沉过程中任一时刻，圆筒的重力减去浮力减去海水的阻力，应该等于此刻它受到的合力，这个合力等于ma。a是加速度。
根据加速度的定义，a=dv/dt ---某一时刻的加速度是该时刻速度对时间的微分；
根据速度的定义，v=ds/dt --某一时刻的速度是该时刻的运动距离对时间的微分。
然后用上面两个式子相除，就得到：a/v=dv/ds, 也就是说：a=v*dv/ds。然后代入(1)式里面去，整理一下，就得到：
ds=mv*dv/(G-F-kv)
这就是一个微分方程了。s表示的是下沉的深度，v表示的是下沉的速度。
在下沉过程中，随着深度的增加，速度也会增加。
下沉到海底时，s=91.4米。对上面的微分方程做积分，S的积分下限是0，上限是91.4， V的积分下限是0，上限是对应91.4米时的速度v的求解项。然后解方程就可以求出那个时刻的速度v的大小。如果它大于12.2 m/s，就表示圆筒会碰撞破裂了。
对mv*dv/(F'-kv)的积分怎么求，我有点忘记了。老夫已经毕业工作十二年了，而且现在的工作跟物理以及技术也没有任何关系。这点事相信你自己查查高数书就能搞定了。