Question

矩阵的秩，若A可逆，则r（AB）＝r（B）， r（BA）＝r（B）。那么若B可逆r（AB）＝

矩阵的秩，若A可逆，则r（AB）＝r（B）， r（BA）＝r（B）。那么若B可逆r（AB）＝r（A）对吗

Answer 1

结果为：r(AB)=r(B)

解题过程如下：

当A为方阵时，A可逆

当A非方阵时，A列满秩

当A为方阵且A可逆时,A可以表示为初等矩阵的乘积 P1P2...Ps

AB = P1P2..PsB 相当于对矩阵B实施一系列初等行变换

而初等变换不改变矩阵的秩

∴ r(AB) = r(P1P2..PsB) = r(B)、

扩展资料

求矩阵的秩方法：

矩阵的秩是线性代数中的一个概念。在线性代数中，一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数，通常表示为r(A)，rk(A)或rank A。

在线性代数中，一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数目。类似地，行秩是A的线性无关的横行的极大数目。即如果把矩阵看成一个个行向量或者列向量，秩就是这些行向量或者列向量的秩，也就是极大无关组中所含向量的个数。

在m*n矩阵A中，任意决定k行和k列交叉点上的元素构成A的一个k阶子矩阵，此子矩阵的行列式，称为A的一个k阶子式。

A=(aij)m×n的不为零的子式的最大阶数称为矩阵A的秩，记作rA，或rankA或R(A)。若A中至少有一个r阶子式不等于零，且在r<min(m,n)时，A中所有的r+1阶子式全为零，则A的秩为r。

由定义直接可得n阶可逆矩阵的秩为n，通常又将可逆矩阵称为满秩矩阵, det(A)≠0；不满秩矩阵就是奇异矩阵，det(A)=0。由行列式的性质知，矩阵A的转置AT的秩与A的秩是一样的，即rank(A)=rank(AT)。

Answer 2

对，相当于A换成B,B换成A,我刚做了一道题里就直接写若B可逆，r(AB)=r(A)

Answer 3

假设A为n*m、B为m*s、AB为n*s，
因为A可逆，所以r(A)=n，又因为r(AB)<=min(r(A),r(B))=min(n,r(B))【重要定理一】;
①假设r(B)<n,则r(AB)<=r(B),又因为r(AB)>=r(A)+r(B)-n【重要定理二】所以，r(AB)>=n+r(B)-n=r(B);根据夹逼准则，r(AB)=r(B);
②假定r(B)>n.则r(AB)<=n,而又因为r(AB)>=r(B)>n,则矛盾;
③假定r(B)=n.显然，r(AB)=r(B);

Answer 4

R(AB)=2哦因为A是可逆的所以A可以表示成N个初等方阵的乘积然后初等变换不会改变矩阵的秩以上都是书上的基本定义所以R(AB)=R（B）=2满意请采纳

追问

???＝2???