Question

已知n∈N*且n≧3，求证：㏑【（n+1）／3】﹤1／3+1／4+1／5+…+1／n

Answer 1

构造函数f(x)=ln(x+1)-x,x>0,
求导得：f’(x)=1/(x+1)-1=-x/(x+1)<0,
所以x>0时，函数递减
∴f(x)<f(0)=0,
即ln(x+1)-x<0，ln(x+1) <x.

分别令x=1/3,1/4,……,1/n得：
ln(4/3) <1/3,
ln(5/4) <1/4,
ln(6/5) <1/5,
……
ln((n+1)/n)<1/n
以上各式相加得：
ln(4/3)+ ln(5/4) +ln(6/5) +……+ ln((n+1)/n) <1/3+1/4+……+1/n
即ln[4/3•5/4•6/5•……•(n+1)/n] <1/3+1/4+……+1/n
所以ln(n+1/3)<1/3+1/4+……+1/n

追问

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