Question

如何理解任何一个方向导数都存在却不可微的

Answer 1

【任何一个方向导数都存在却不可微的】并不是普遍现象，而是特殊情况。一般的初等函数若在某点任何一个方向导数都存在，在某点的可微性由初等函数性质得到保证的。
特殊情况的例子是f(x,y)=√(x^2+y^2)，在(0,0)点任何一个方向的方向导数都等于1，但f(x,y)在(0,0)点的两个偏导数都不存在，从而f(x,y)在(0,0)点不可微。这个例子的本质是利用了一元函数|x|在x=0的不可导，f(x,0)=|x|，fx(0,0)不存在。