Question

已知定义在R上的可导函数f(x),满足f'(x)<f(x),且f(x+1)为偶函数，f(2)=1,则不等式f(x)<e^x的解集为？求解

求高人解答啊？？f'(x)<f(x)这个说明什么

Answer 1

f(x+1)为偶函数，则f(x)的图象关于直线x=1对称，f'(x)<f(x)，则f(x)在x<1时递减，x>1时递增，又f(2)=1，则f(0)=f(2)=1,则不等式f(x)<e^x的解为x>0

追问

还是不懂 ，能详细点吗为什么f(0)=f(2)=1,则不等式f(x)0，我知道这是个周期函数

追答

首先不是周期函数是对称函数，f(x)在x1时递增，f(x)的图象类似于对称轴为直线x=1开口向上的抛物线，利用图象解不等式f(x)0

追问

，f'(x)1时递增 这个是为什么啊？？

追答

f(x)的图象关于直线x=1对称,f(x)的图象类似于对称轴为直线x=1的抛物线,情况只有两种：一种是开口向下，这时x0，当x无穷小时f(x)趋向于无穷小，与f'(x)1,f'(x)>0,符合题意

Answer 2

1、f(x+1)为偶函数，f(x+1)=f(-x+1)，x=1是对称轴。利用偶函数的性质可以证明：f'(1)=0。
2、若f(x)>0，则f'(x)/f(x)<1，[lnf(x)]'<1，积分（注意：积分不改变<符号）变形得到：f(x)<e^x；
若f(x)<0，积分变形则得到f(x)>e^x，不符合题意；
3、所以原题的解就是定义R上f(x)>0的那部分。 上面的意思，换句话说，就是对于f(x)>0那部分，f(x)<e^x也要成立。

追问

f(x)>0是哪部分啊，答案是x>0

追答

由第1份，f(0)=f(2)=1,e^0=1，故x=0时f(x)=e^x，你在坐标图，画出对称函数f(x)和指数函数y=e^x，答案不言而明。
还要说明一点，从f'(x)0，为什么在x>0时，f(x)不能小于等于0，这是由f'(x)0,但f(x2)=f(x1)f(x)是不会有问题的。