Question

高数题 求微分方程通解

高数题 求微分方程通解 第三题 谢谢🙏详细一点哦

Answer 1

y^(4)-2y^(3)+5y^(2)=0
设z=y^(2)
z''-2z'+5z=0
特征方程：
r²-2r+5=0
r=（2±√（4-20））/2
=（2±4i）/2
=1±2i
通解：
z=e^x（C1cos2x+C2sin2x）；
y''=e^x（C1cos2x+C2sin2x）
积分：
∫e^xcos2xdx=∫cos2xde^x=e^xcos2x+2∫e^xsin2xdx
=e^xcos2x+2∫sin2xde^x
=e^xcos2x+2e^xsin2x-4∫e^xcos2xdx
5∫e^xcos2xdx=e^xcos2x+2e^xsin2x
∫e^xcos2xdx=(1/5)e^xcos2x+(2/5)e^xsin2x
∫e^xsin2xdx=∫sin2xde^x
=e^xsin2x-2∫e^xcos2xdx
=e^xsin2x-2[(1/5)e^xcos2x+(2/5)e^xsin2x]
=e^xsin2x-(2/5)e^xcos2x-(4/5)e^xsin2x
=(1/5)e^xsin2x-(2/5)e^xcos2x
代入：
y'=C1[(1/5)e^xcos2x+(2/5)e^xsin2x]+C2[(1/5)e^xsin2x-(2/5)e^xcos2x]+C3
=(C1/5-2C2/5)e^xcos2x+(2C1/5+C2/5)e^xsin2x+C3
=D1e^xcos2x+D2e^xsin2x+C3
形式与y''差不多，
再积分一次：
y=E1e^xcos2x+E2e^xsin2x+C3x+C4

Answer 2

y′′通解e^x(C1sin2x+C2cos2x)
y=∫∫y′dxdx=选项C

追问

C1C2分别是什么啊

追答

…任意常数

追问

为什么是sin 2x cos2x呢，

追答

…由特征根方程r²-2r+5=0得r，对照书上得通解形