Question

二阶非线性微分方程 X"＋2Xˊ＋5X=0 ， X︱t=0 =0 ，Xˊ︱t=0 =0求特解

请写出步骤

Answer 1

首先,X的各阶导数没有超过一次,所以这是一个线性微分方程哦
由你的题目来看,X是t的函数,原方程即X"(t)+2X'(t)+5X(t)=0 , X(0)=0 ,X'(0)=0
这是一个缺t型的可降阶的二阶微分方程,所以令X'=P , X''=dP/dt=dP/dX·dX/dt=P·dP/dX
原方程转化为: P·dP/dX+2P+5X=0 ,
到这里问题又出现了,求特解先要求出方程通解,而求通解默认的是P不等于0

然后可以两边同除以P: dP/dX+2+5X/P=0 , 这是一个齐次微分方程,所以令P/X=u,P=uX
原方程转化为: X·du/dX+u+2+5/u=0 , X·du/dX=-(u+2+5/u) , 1/(u+2+5/u)du=-1/XdX
两边同时积分: 11/18·ln(u^2+2u+5)-1/9·u/(u^2+2u+5)-2/9·u=lnX+C1 (这个过程比较复杂)
代入u=P/X , P=X' , 继续积分

而你提供的数据X=0,已经是方程的特解了