Question

请求高手帮忙，概率学，和中心极限定理有关

高手您好，麻烦您帮我看下这道题。万分感谢！

一盒子装有未知数量的黑色和白色的球。我们想要估计白球在盒子里的比例（p）。为了估计，我们随机抽取盒中的球并在记录后重新放回盒中。让Zn为在抽取n球后白色球的比例。
（a） 证明图中那个东西
（b） 用a部分的答案，找出n的最小值，满足概率大于0.95，并使随机抽取的白球比例（Zn）与实际盒中的白球比例（p）的相差小于0.1
（c） 用中心极限定理回答b部分。

感谢啊

Answer 1

设Xi表示第i次抽得白球的个数，当第i次抽得的是白球时Xi=1，抽得的是黑球时Xi=0，Xi服从0-1两点分布，即Xi~B(1,p)。由题意可知X1,X2,...,是独立同分布的随机变量序列，且Zn=(X1+...+Xn)/n，由Xi的数学期望和方差分别为p和p(1-p)可得Zn的数学期望和方差分别是：E(Zn)=p, D(Zn)=p(1-p)/n。
(a) 由切比雪夫不等式得：
P(|Zn-p|>=e)<=D(Zn)/e^2=p(1-p)/(ne^2)<=1/(4ne^2)
上面不等式成立用到了：p(1-p)<=1/4，（由p(1-p)=-(p-1/2)^2+1/4知，当p=1/2时p(1-p)取得最大值1/4）
(b) 利用P(|Zn-p|<e)>=1-D(Zn)/e^2，由1-D(Zn)/0.1^2=0.95得：n=500即为所求。
(c) 由于X1,X2,...,是独立同分布的随机变量序列，也即 n*Zn是n个相互独立同分布随机变量的和，由中心极限定理：
n^0.5(Zn-p)/[p(1-p)]依分布收敛标准正态分布随机变量
则有：P(|Zn-p|<0.1)=P(|n^0.5(Zn-p)/{[p(1-p)]^0.5}|<0.1*n^0.5/{[p(1-p)]^0.5})约等于G(0.1*n^0.5/{[p(1-p)]^0.5})，
而 G(0.1*n^0.5/{[p(1-p)]^0.5})>=G(0.2*n^0.5])
令G(0.2*n^0.5])=0.95，得：
0.2*n^0.5]约等于1.645，则n近似等于67.6
所以取n=68。
其中G(.)为标准状态分布随机变量的分布函数。
注：用切比雪夫不等式进行求解所得结果的精度较差。