Question

设椭圆M:x^2/a^2+y^2/b^2=1,(a>b>0)的离心率为√2/2,点A(a,0),B(0,-b),

椭圆E:x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的离心率为√2/2，点A(a，0)、B（0，-b），原点O到直线AB的距离为2√3/3.

(1)求椭圆E方程
(2)已知过点M(1,0)的直线交椭圆E于C,D两点 ，若存在动点N，使得直线NC NM ND的斜率依次成等差数列，试确定点N的轨迹方程

以上要有过程，谢谢

Answer 1

见图

Answer 2

(1)直线AB的截距式方程x/a+y/(-b)=1,整理得bx-ay-ab=0
原点O到直线AB的距离为2√3/3.，
d=|-ab|/√(a^2+b^2)=2√3/3， 得到4a^2+4b^2=3a^2b^2……①
椭圆E的离心率为√2/2，e^2=(c/a)^2=1/2,则 a^2=2c^2……②
∵a^2=b^2+c^2…………③
∴由①②③得:b^2=2,a^2=4
椭圆E方程:x^2/4+y^2/2=1
（2）设N（x,y）,C(x1,y1)D(x2,y2),且N不与C，D，M重合
由已知直线NC NM ND的斜率存在，且N可以在过点M(1,0)的直线上，
所以过点M(1,0)的直线斜率存在，设方程为：y=k(x-1)……①
Knc=(y-y1)/(x-x1),Knm=y/(x-1),Knd=(y-y2)/(x-x2)
直线NC NM ND的斜率依次成等差数列，
所以2y/(x-1)=(y-y1)/(x-x1)+(y-y2)/(x-x2)
整理得到：2y/(x-1)=[2xy-x(y1+y2)-y(x1+x2)+(x1y2+x2y1)]/[x^2-x(x1+x2)+x1x2]……②
将直线方程①代入椭圆方程得到：(k^2+2)x^2-2k^2x+k^2-4=0
x1+x2=2k^2/(k^2+2), x1x2=(k^2-4)/(k^2+2)
y1+y2=k(x1+x2)-2k=-4k/(k^2+2), x1y2+x2y1=k[2x1x2-(x1+x2)]=-8k/(k^2+2)
代入②式中，得到(x-2)y=k(x-1)(x-2),当x≠2时，所求直线为y=k(x-1)
当x=2时，所求直线为x=2
C，D，M，三点除外